[논문 리뷰] Free Rota-Baxter family algebras and Free (tri)dendriform family algebras

Yuanyuan Zhang, Xing Gao외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 02. 10.

Advanced Topics in Algebra참고 문헌 23인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 유형이 부여된 각진 장식이 부여된 평면 뿌리 있는 트리들을 사용하여 자유 Rota-Baxter 가족 대수를 구성하며, 이는 이전의 숲 기반 방법과는 다를 새로운 실현을 제공한다. 이는 자유 dendriform(또는 tridendriform) 가족 대수가 자유 Rota-Baxter 가족 대수의 보편 포장 대수임을 보여주며, 이는 이러한 구조들이 Rota-Baxter 프레임워크 내에 자연스럽게 통합됨을 의미한다.

ABSTRACT

In this paper, we first construct the free Rota-Baxter family algebra generated by some set $X$ in terms of typed angularly $X$-decorated planar rooted trees. As an application, we obtain a new construction of the free Rota-Baxter algebra only in terms of angularly decorated planar rooted trees (not forests), which is quite different from the known construction via angularly decorated planar rooted forests by K. Ebrahimi-Fard and L. Guo. We then embed the free dendriform (resp. tridendriform) family algebra into the free Rota-Baxter family algebra of weight zero (resp. one). Finally, we prove that the free Rota-Baxter family algebra is the universal enveloping algebra of the free (tri)dendriform family algebra.

연구 동기 및 목표

• 유형이 부여된 각진 장식이 부여된 평면 뿌리 있는 트리를 사용하여 자유 Rota-Baxter 가족 대수의 새로운 대수적 구성법을 제공한다.
• 이 구성법이 숲 기반 기존 방법과 다를 바 있는 자유 Rota-Baxter 대수의 다른 실현을 제공함을 보여준다.
• 자유 dendriform 가족 대수와 자유 tridendriform 가족 대수를 각각 무게 0과 1인 자유 Rota-Baxter 가족 대수에 통합한다.
• 자유 Rota-Baxter 가족 대수가 자유 (tri)dendriform 가족 대수의 보편 포장 대수임을 증명한다.
• 조합적 트리 모델을 통해 Rota-Baxter, dendriform, tridendriform 대수의 대수적 구조를 가족 설정에서 통합한다.

제안 방법

• 반군 Ω에 의해 인덱싱된 유형이 부여된 각진 장식이 부여된 평면 뿌리 있는 트리의 선형 스칼라의 곱을 정의한다.
• Rota-Baxter 가족 단어의 집합을 도입하고, 이 집합에서 유형이 부여된 각진 장식이 부여된 평면 뿌리 있는 트리의 집합으로의 전단사 사상 ψ를 구성한다.
• 전단사 사상 ψ와 이전 연구에서의 자유 (tri)dendriform 가족 대수에 관한 결과를 활용하여, 이러한 트리들의 선형 스칼라가 자유 Rota-Baxter 가족 대수를 이룬다는 것을 증명한다.
• 유형이 부여된 장식이 부여된 평면 이진 트리의 포함을 통해 자유 dendriform 가족 대수를 자유 Rota-Baxter 가족 대수의 무게 0 버전에 통합한다.
• 유형이 부여된 Schröder 트리의 포함을 통해 자유 tridendriform 가족 대수를 자유 Rota-Baxter 가족 대수의 무게 1 버전에 통합한다.
• 자연스러운 포함 사상과 대수적 보편 성질을 사용하여 자유 Rota-Baxter 가족 대수가 자유 (tri)dendriform 가족 대수의 보편 포장 대수임을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 자유 Rota-Baxter 가족 대수는 숲을 사용하지 않고 각진 장식이 부여된 평면 뿌리 있는 트리로부터 직접 구성될 수 있는가?
• RQ2 dendriform 와 tridendriform 가족 대수는 특정 무게를 가진 Rota-Baxter 가족 대수와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ3 자유 Rota-Baxter 가족 대수와 자유 (tri)dendriform 가족 대수 사이에 보편 포장 대수 관계가 존재하는가?
• RQ4 이진 트리와 Schröder 트리의 자연스러운 포함이 Rota-Baxter 가족 대수 내에 캐논칼 서대수의 구조를 유도하는가?
• RQ5 반군 Ω는 장식이 부여된 트리를 통한 자유 대수의 구성에서 정확히 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 집합 X에 의해 생성된 자유 Rota-Baxter 가족 대수는 유형이 부여된 각진 장식이 부여된 평면 뿌리 있는 트리의 선형 스칼라로 실현되며, 이는 숲 기반 구성과는 독립된 새로운 조합 모델을 제공한다.
• Rota-Baxter 가족 단어와 유형이 부여된 각진 장식이 부여된 평면 뿌리 있는 트리 사이에 전단사 사상 ψ가 확립되어 있으며, 이는 자유 Rota-Baxter 가족 대수의 구성에 기여한다.
• 자유 dendriform 가족 대수는 유형이 부여된 장식이 부여된 평면 이진 트리의 포함을 통해 자유 Rota-Baxter 가족 대수의 무게 0 버전에 캐논칼 서대수로 통합된다.
• 자유 tridendriform 가족 대수는 유형이 부여된 Schröder 트리의 포함을 통해 자유 Rota-Baxter 가족 대수의 무게 1 버전에 캐논칼 서대수로 통합된다.
• 자유 Rota-Baxter 가족 대수의 무게 λ는 λ = 0일 때는 자유 dendriform 가족 대수의 보편 포장 대수이며, λ ≠ 0일 때는 자유 tridendriform 가족 대수의 보편 포장 대수이다.
• 자연스러운 포함 사상과 대수적 보편 성질을 통해 구성이 보편 포장 성질을 확인하였으며, 이는 기존 결과를 가족 대수 설정으로 일반화한다.