[논문 리뷰] From microscopic theory to macroscopic theory: dynamics of the rod-like liquid crystal molecules

Wei Wang, Pingwen Zhang외 1명|arXiv (Cornell University)|2013. 05. 21.

Liquid Crystal Research Advancements참고 문헌 32인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 막대형 액정의 미세구조 운동론에서 출발하여 체계적인 다스케일 접근법을 통해 Ericksen-Leslie 방정식을 유도한다: Doi-Onsager 방정식에서 출발하여 Bingham 폐쇄를 적용해 Q-텐서 모델을 얻고, 소규모 Deborah 수 근사에서 매크로스코픽 유체역학 모델을 유도한다. 주요 기여는 분자 매개변수에 대한 엄밀한 유도를 통해 Leslie 계수와 탄성 상수를 도출함으로써, 분자 순서 매개변수와 상호작용 커널에 명시적인 의존성을 가진 채로 미세구조 역학과 매크로스코픽 나이트로제닉 액정 거동을 연결한다.

ABSTRACT

Starting from Doi-Onsager equation for the liquid crystal, we first derive the Q-tensor equation by the Bingham closure. Then we derive the Ericksen-Leslie equation from the Q-tensor equation by taking the small Deborah number limit.

연구 동기 및 목표

• 막대형 액정에 대한 미세구조 운동론과 매크로스코픽 유체역학 모델 간 격차를 메우기 위해.
• Bingham 폐쇄 근사를 사용하여 Doi-Onsager 방정식에서 Q-텐서 방정식을 도출하기 위해.
• Q-텐서 모델에서 소규모 Deborah 수 근사에서 Ericksen-Leslie 방정식을 엄밀히 도출하기 위해.
• Leslie 탄성 계수와 Frank 상수를 $J_i$, $S_2$, $S_4$와 같은 분자 매개변수의 형태로 표현하기 위해.
• 매크로스코픽 모델에 영역 이동 확산과 회전 리듬 효과를 포함하여 이전의 Q-텐서 모델들과 구별하기 위해.

제안 방법

• 방향 분포 함수에 대한 Bingham 폐쇄를 적용하여 비차원화된 Doi-Onsager 방정식에서 Q-텐서 방정식을 유도한다.
• 장거리 Maier-Saupe 상호작용 커널 $B_\varepsilon$를 포함한 자유 에너지 기능 $A_\varepsilon[f]$를 도입하여 비국소적 분자 상호작용을 모델링한다.
• 화학적 포텐셜 $\mu_\varepsilon = \delta A_\varepsilon / \delta f$를 정의하고, 이를 통해 순간 폐쇄를 통해 Q-텐서 진화 방정식을 도출한다.
• Q-텐서 방정식에 소규모 Deborah 수 근사($De \to 0$)를 적용하여, 명시적인 Leslie 계수와 탄성 계수를 가진 Ericksen-Leslie 시스템을 도출한다.
• Q-텐서 역학에서 소산 스트레스 텐서 $\sigma^{\text{dis}}$와 활성 스트레스 $\sigma^a$를 유도하며, 회전 및 영역 이동 확산 기여를 포함한다.
• Oseen-Frank 탄성 상수 $K_1, K_2, K_3$를 분자 매개변수 $J_1, \dots, J_5$, $S_2$, $S_4$를 통해 명시적인 공식으로 표현한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 순간 폐쇄를 통해 Doi-Onsager 운동론 방정식에서 Q-텐서 모델을 체계적으로 도출할 수 있는가?
• RQ2 Bingham 폐쇄는 분포 함수와 텐서형 순서 매개변수 사이에서 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 소규모 Deborah 수 근사는 Q-텐서 역학을 Ericksen-Leslie 유체역학 모델로 어떻게 변환하는가?
• RQ4 분자 상호작용 매개변수와 매크로스코픽 Leslie 탄성 상수 사이의 명시적 관계는 무엇인가?
• RQ5 Q-텐서 모델의 영역 이동 및 회전 확산 항은 Beris-Edwards 및 Qian-Sheng 모델과 어떻게 다를까?

주요 결과

• Bingham 폐쇄를 통해 Doi-Onsager 방정식에서 Q-텐서 방정식을 도출하였으며, 동역학을 지배하는 화학적 포텐셜 $\mu_Q = \delta E / \delta Q$ 가 존재한다.
• 소규모 Deborah 수 근사에서 Ericksen-Leslie 시스템을 도출하였으며, Leslie 계수와 $\gamma_1, \gamma_2$ 는 유지되고, Ericksen 에너지는 Oseen-Frank 에너지로 대체된다.
• 탄성 상수 $K_1, K_2, K_3$ 는 분자 매개변수에 대해 명시적으로 표현되었으며, $K_1 = 2S_2^2(J_1 + J_3) + S_4^2(\frac{16}{7}J_2 + \frac{92}{49}J_4) - \frac{6}{7}J_5 S_2 S_4$ 와 유사한 공식이 $K_2, K_3$ 에도 적용된다.
• Beris-Edwards 및 Qian-Sheng 모델에 존재하지 않는 영역 이동 확산 항 $\frac{\varepsilon}{De} \mathcal{N}(\mu_Q)$ 이 모델에 포함되어 있으며, 이는 비국소적 분자 확산을 설명한다.
• 회전 확산 항 $\frac{2}{De}(\mathcal{M}_Q + \mathcal{M}_Q^T)(\mu_Q)$ 는 Doi의 운동론 이론에서 도출되어 미세구조 역학과 일관성을 확보한다.
• 소산 스트레스 $\sigma^{\text{dis}}$ 와 활성 스트레스 $\sigma^a$ 는 에너지 기능에서 일관되게 도출되었으며, $\sigma^a = Q \cdot \mu_Q - \mu_Q \cdot Q$ 라는 식으로 표현된다.