[논문 리뷰] From open quantum walks to unitary quantum walks

Chaobin Liu|arXiv (Cornell University)|2015. 02. 05.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 17인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 래티스와 유한한 그래프 위의 개방 양자 보행(OQW)을 확장된 Szegedy의 양자화 프레임워크를 통해 보편적 양자 보행으로 변환하는 방법을 제안한다. 이 방법은 확률 및 평균 확률 분포를 정의하고, 점근적 수렴성을 증명한다. 전이 연산자가 확률적이고 보편적인 경우, 이 구성은 Szegedy의 양자 보행을 특수한 경우로 복원하며, 통합된 양자 보행 형식을 수립한다.

ABSTRACT

We present an idea to convert to a unitary quantum walk any open quantum walk which is defined on lattices as well as on finite graphs. This approach generalizes to the domain of open quantum walks (or quantum Markov chains) the framework introduced by Szegedy for quantizing Markov chains. For the unitary quantum walks formulated in this article, we define the probability and the mean probability of finding the walk at a node, then derive the asymptotic mean probability.

연구 동기 및 목표

• 마르코프 체인의 Szegedy의 양자화를 개방 양자 보행(OQW)으로 일반화하기 위해, 이는 고전적 랜덤 워크의 양자 확장이다.
• 격자와 유한한 그래프 위에서 OQW의 역학을 유지하는 보편적 양자 보행 프레임워크를 정의하기 위해.
• 새로운 보편적 양자 보행 모델에서 보행자가 노드에 있을 확률 및 평균 확률을 정의하고 분석하기 위해.
• 평균 확률 분포의 점근적 수렴성을 증명하여, 초기 상태와 그래프의 연결성에 의존함을 보여주기 위해.
• 제안된 구성의 특수한 경우로 Szegedy의 양자 보행 프레임워크가 복원됨을 보여주기 위해.

제안 방법

• OQW 역학을 임bed하기 위해 확장된 힐버트 공간 $ \mathfrak{B}(\mathcal{H}_C) \otimes \mathcal{H}_V \otimes \mathcal{H}_V $ 을 정의하기 위해.
• 각 정점 $ j \in V $ 에 대해 정규화된 상태 $ |\psi_j\rangle = \frac{1}{\sqrt{n}} \sum_k \sqrt{B_j^k \dagger B_j^k} \otimes |j\rangle \otimes |k\rangle $ 를 구성하기 위해.
• 이 상태들의 스팬에 대한 사영 연산자 $ \Pi = \sum_j |\psi_j\rangle\langle\psi_j| $ 를 정의하기 위해.
• 위치 레지스터에 작용하는 스왑 연산자 $ S = \sum_{j,k} |j,k\rangle\langle k,j| $ 를 도입하기 위해.
• Szegedy의 구성과 유사하게 단위 보행 연산자 $ U = S(2\Pi - I) $ 를 구성하기 위해.
• 시간에 따른 상태를 정의하기 위해 단위 진화 $ \rho_t = U^t \rho_0 $ 를 사용하고, 노드 확률을 계산하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 격자와 유한한 그래프 위의 개방 양자 보행은 체계적으로 보편적 양자 보행으로 변환될 수 있는가?
• RQ2 유도된 보편적 양자 보행에서 평균 확률 분포의 점근적 행동은 어떠한가?
• RQ3 점근적 분포는 초기 상태와 그래프의 연결성에 어떻게 의존하는가?
• RQ4 제안된 보편적 양자화의 특수한 경우로 Szegedy의 양자 보행 프레임워크를 복원할 수 있는가?
• RQ5 코인 공간과 전이 연산자는 보편적 진화를 정의하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 보편적 양자 보행의 점근적 평균 확률 분포는 정리 1에 의해 수렴함을 증명하였다.
• 분리된 그래프의 경우, 점근적 평균 확률은 $ \overline{P}_\infty(1|\alpha_0) = \overline{P}_\infty(2|\alpha_0) = \frac{1}{2} $ 로, 초기 상태에 의존함을 보여준다.
• 연결된 그래프의 경우, 점근적 분포는 유일할 수 있으며, 이는 연결성과 수렴 성질 사이의 관계를 시사한다.
• 제안된 보편적 보행 구성은 Szegedy의 양자화를 일반화하며, 전이 연산자가 $ B_j^k = \sqrt{p_{kj}} U_j^k $ 이고 $ U_j^k $ 가 보편적인 경우, 그의 보행을 복원한다.
• 확장된 공간의 부분공간에 대한 $ \mathcal{H}_V \otimes \mathcal{H}_V $ 와의 등장사상은 Szegedy의 모델과 일관성을 유지한다.
• 이 프레임워크는 OQW, 양자 보행, 보편적 양자 보행을 하나의 양자화 체계 아래 통합한다.