[논문 리뷰] From the Poincaré-Cartan form to a Gerstenhaber algebra of Poisson brackets in field theory

Igor V. Kanatchikov|ArXiv.org|1995. 11. 06.

Black Holes and Theoretical Physics참고 문헌 4인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 De Donder-Weyl 공변 해밀토니안 프레임워크를 사용하여 고전역학의 파울리 괄호 형식을 장 이론으로 일반화한다. 푸앵카레-카르탕 형식에서 출발하여 미분 형식 위에 (n+1)-차수의 다형세밀 형식을 구성함으로써, 외부 대수의 운동 변수에 고차원 게르스텐하버 대수 구조를 갖춘 파울리 괄호를 도출한다—이는 공변 해밀토니안 방법을 통한 장의 양자화를 위한 기초를 제공한다.

ABSTRACT

We review the recent generalization of the basic structures of classical analytical mechanics to field theory within the framework of the De Donder-Weyl (DW) covariant canonical theory. We start from the Poincaré-Cartan form and construct the analogue of the symplectic form -- the polysymplectic form of degree n+1, where n is the dimension of the space-time. The dynamical variables are represented by differential forms and the polysymplectic form leads to the definition of the Poisson brackets on forms. The Poisson brackets equip the exterior algebra of dynamical variables with a structure of a "higher-order" Gerstenhaber algebra. We also briefly outline a possible approach to field quantization which proceeds from the DW Hamiltonian formalism and the Poisson brackets of forms.

연구 동기 및 목표

• 공변 해밀토니안 접근을 사용하여 고전역학의 심플렉틱 형식을 장 이론으로 확장한다.
• 장 이론에서 미분 형식 위에 일반화된 파울리 괄호 형식을 정의한다.
• 푸앵카레-카르탕 형식에서 유도된 (n+1)-차수의 다형세밀 형식(n = 시공간 차원)을 구성한다.
• 형식 위의 파울리 괄호가 운동 변수의 외부 대수에 고차원 게르스텐하버 대수 구조를 부여함을 보인다.
• De Donder-Weyl 형식과 형식의 파울리 괄호를 기반으로 한 공변 장 양자화의 기초를 마련한다.

제안 방법

• De Donder-Weyl 이론에서 푸앵카레-카르탕 형식으로부터 (n+1)-차수의 다형세밀 형식을 유도한다.
• 장 구성공간의 저지 번들의 위에서 운동 변수를 미분 형식으로 표현한다.
• 다형세밀 형식의 역행렬을 사용하여 미분 형식 간의 파울리 괄호를 정의한다.
• 파울리 괄호 연산이 계량화된 재귀 항등식을 만족함을 입증하여 게르스텐하버 대수 구조를 도출한다.
• 형식의 계량화된 교환자로 게르스텐하버 대수의 리 초대수 대수 성질을 실현한다.
• 포크 공간 표현에서 파울리 괄호를 교환자로 승격시켜 잠재적 양자화 절차를 개략적으로 기술한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고전역학의 심플렉틱 구조는 어떻게 장 이론에 대해 명백히 공변적인 방식으로 일반화될 수 있는가?
• RQ2 운동 변수가 미분 형식일 때 장 이론에서 파울리 괄호의 적절한 일반화 형태는 무엇인가?
• RQ3 형식 위의 파울리 괄호 대수적 구조가 게르스텐하버 대수의 공리계를 만족하는지 입증할 수 있는가?
• RQ4 (n+1)-차수의 다형세밀 형식은 장 이론 관측량의 역학과 대수적 구조를 정의하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 De Donder-Weyl 해밀토니안 형식과 형식의 파울리 괄호를 기반으로 일관된 양자화 체계를 구성할 수 있는가?

주요 결과

• 장 이론에서 푸앵카레-카르탕 형식은 시공간 차원 n에 대해 (n+1)-차수의 다형세밀 형식을 유도한다.
• 다형세밀 형식의 역행렬을 통한 형식 위의 파울리 괄호는 형식의 공간에서 닫혀 있다.
• 파울리 괄호 연산은 계량화된 재귀 항등식을 만족함으로써 운동 변수의 외부 대수 위에 게르스텐하버 대수 구조가 존재함을 확인한다.
• 이 대수적 구조는 계량화된 교환자와 일치하며 고차원 리 초대수를 지원한다.
• 이 프레임워크는 파울리 괄호의 형식을 통한 공변적이고 기하학적인 장 양자화 기초를 제공한다.
• 이 구성은 명백히 공변적인 방식으로 고전역학의 해밀토니안 형식을 장 이론으로 일반화한다.