[논문 리뷰] From unbalanced optimal transport to the Camassa-Holm equation

Thomas Gallouët, François‐Xavier Vialard|arXiv (Cornell University)|2016. 09. 10.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 36인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 컴팩트 다양체의 미분형식군 위에 오른쪽 불변 Hdiv 계량을 도입하여, 비균형 최적 운반과 카마사-홀름(CH) 방정식 사이의 기하학적 연결을 수립한다. 이 틀에서 CH 방정식의 해가 지오데식선으로 나타남을 보이며, 반-밀도에 대한 극성 분해 정리를 증명하고, 미분형식군을 콘 계량을 갖춘 피브리(Bundle)의 자기동형군에 등급 등장시키며, 일반화된 CH 방정식의 새로운 지오데식 공식을 제공한다.

ABSTRACT

The group of diffeomorphisms of a compact manifold endowed with the L^2 metric acting on the space of probability densities gives a unifying framework for the incompressible Euler equation and the theory of optimal mass transport. Recently, several authors have extended optimal transport to the space of positive Radon measures where the Wasserstein-Fisher-Rao distance is a natural extension of the classical L^2-Wasserstein distance. In this paper, we show a similar relation between this unbalanced optimal transport problem and the Hdiv right-invariant metric on the group of diffeomorphisms, which corresponds to the Camassa-Holm (CH) equation in one dimension. On the optimal transport side, we prove a polar factorization theorem on the automorphism group of half-densities. Geometrically, our point of view provides an isometric embedding of the group of diffeomorphisms endowed with this right-invariant metric in the automorphisms group of the fiber bundle of half densities endowed with an L^2 type of cone metric. This leads to a new formulation of the (generalized) CH equation as a geodesic equation on an isotropy subgroup of this automorphisms group; On S1, solutions to the standard CH thus give particular solutions of the incompressible Euler equation on a group of homeomorphisms of R^2 which preserve a radial density that has a singularity at 0. An other application consists in proving that smooth solutions of the Euler-Arnold equation for the Hdiv right-invariant metric are length minimizing geodesics for sufficiently short times.

연구 동기 및 목표

• 워샤르슈타인-파이저-레이오 거리로 확률 측도에서 양의 라돈 측도로 최적 운반 이론을 확장하기 위해.
• 미분형식군 위의 오른쪽 불변 Hdiv 계량을 통해 비균형 최적 운반과 카마사-홀름 방정식 사이의 기하학적 대응을 수립하기 위해.
• 반-밀도의 자기동형군의 이sovropia 부분군 위에서 일반화된 CH 방정식을 지오데식 방정식으로 새롭게 공식화하기 위해.
• Hdiv 계량에 대한 올리브-아르놀드 방정식의 매끄러운 해가 충분히 짧은 시간 동안 길이 최소화 지오데식선임을 보여주기 위해.

제안 방법

• 컴팩트 다양체의 미분형식군에 오른쪽 불변 Hdiv 계량을 도입하기 위해.
• 반-밀도의 피브리(Bundle)에 콘 계량을 정의하여 Hdiv 계량의 L^2 유형 기하학을 실현하기 위해.
• 반-밀도의 자기동형사상에 대한 극성 분해 정리를 증명하고, 고전적 캄토로비치 최적 운반 결과를 비균형 설정으로 일반화하기 위해.
• 반-밀도 번들의 자기동형군에 등급 등장시키는 미분형식군의 등급 등장 구축을 위해.
• 일반화된 카마사-홀름 방정식을 반-밀도의 자기동형군의 이sovropia 부분군 위의 지오데식 방정식으로 유도하기 위해.
• 원주 S1 상에서 표준 CH 방정식의 해가 원점에서 특이성을 갖는 라디얼 밀도 공간 위의 비압축성 올리브 방정식의 특수한 해를 이룬다는 것을 보여주기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 미분형식군 위의 오른쪽 불변 계량을 통해 비균형 최적 운반과 카마사-홀름 방정식을 기하학적으로 연결할 수 있는가?
• RQ2 반-밀도는 양의 라돈 측도로 최적 운반 이론을 확장하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 카마사-홀름 방정식은 더 큰 피브리 번들의 자기동형군 내에서 지오데식 방정식으로 유도될 수 있는가?
• RQ4 미분형식군 위의 Hdiv 계량은 비균형 운반에서 워샤르슈타인-파이저-레이오 거리와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ5 Hdiv 계량에 대한 올리브-아르놀드 방정식의 매끄러운 해는 충분히 짧은 시간 동안 길이 최소화 지오데식선인가?

주요 결과

• 반-밀도의 자기동형군에 대해 극성 분해 정리를 수립하여, 고전적 최적 운반 결과를 비균형 설정으로 일반화하였다.
• Hdiv 오른쪽 불변 계량을 지닌 미분형식군은 L^2 유형의 콘 계량을 지닌 반-밀도 번들의 자기동형군에 등급 등장시킬 수 있다.
• 일반화된 카마사-홀름 방정식은 반-밀도의 자기동형군의 이sovropia 부분군 위에서 지오데식 방정식으로 공식화되었다.
• 원주 S1 상에서 표준 카마사-홀름 방정식의 해는 특이성을 갖는 라디얼 밀도를 유지하는 홈오모르피즘의 군 위에서 비압축성 올리브 방정식의 특수한 해를 이룬다.
• Hdiv 계량에 대한 올리브-아르놀드 방정식의 매끄러운 해가 충분히 짧은 시간 동안 길이 최소화 지오데식선임이 증명되었다.