[논문 리뷰] From weight structures to (orthogonal) $t$-structures and back

Mikhail V. Bondarko|arXiv (Cornell University)|2019. 07. 08.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 24인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 브라운 표현 가능성을 만족하는 삼각 범주 위에서 분쇄 무게 구조(smashing weight structures)와 오른쪽으로 인접한 t-구조(right-adjacent t-structures) 사이의 1-1 대응을 수립하며, t-구조의 하트가 무게 구조의 하트에서 아벨 군으로의 제품을 보존하는 함자들로 이루어져 있음을 보여준다. 이는 가상의 t-절단(virtual t-truncations)을 통해 수직 t-구조들로의 일반화를 통해, 함자들의 표현 가능성을 요구하지 않고도 무게 구조로부터 t-구조를 구성하는 데 새로운 방법을 제공한다.

ABSTRACT

A $t$-structure $t=(C_{t\le 0},C_{t\ge 0})$ on a triangulated category $C$ is right adjacent to a weight structure $w=(C_{w\le 0}, C_{w\ge 0})$ if $C_{t\ge 0}=C_{w\ge 0}$; then $t$ can be uniquely recovered from $w$ and vice versa. We prove that if $C$ satisfies the Brown representability property then $t$ that is adjacent to $w$ exists if and only if $w$ is smashing (i.e., coproducts respect weight decompositions); then the heart $Ht$ is the category of those functors $Hw^{op} o Ab$ that respect products. The dual to this statement is related to results of B. Keller and P. Nicolas. We also prove that an adjacent $t$ exists whenever $w$ is a bounded weight structure on a saturated $R$-linear category $C$ (for a noetherian ring $R$); for $C=D^{perf}(X)$, where the scheme $X$ is regular and proper over $R$, this gives 1-to-1 correspondences between bounded weights structures on $C$ and the classes of those bounded $t$-structures on it such that $Ht$ has either enough projectives or injectives. We generalize this existence statement to construct (under certain assumptions) a $t$-structure $t$ on a triangulated category $C'$ such that $C$ and $C'$ are subcategories of a common triangulated category $D$ and $t$ is right orthogonal to $w$. In particular, if $X$ is proper over $R$ but not necessarily regular then one can take $C=D^{perf}(X)$, $C'=D^b_{coh}(X)$ or $C'=D^-_{coh}(X)$, and $D=D_{qc}(X)$. We also study hearts of orthogonal $t$-structures and their restrictions, and prove some statements on "reconstructing" weight structures from orthogonal $t$-structures. The main tool of this paper are virtual $t$-truncations of (cohomological) functors; these are defined in terms of weight structures and "behave as if they come from $t$-truncations" whether $t$ exists or not.

연구 동기 및 목표

• 삼각 범주 위에서 분쇄 무게 구조와 오른쪽으로 인접한 t-구조 사이의 1-1 대응을 수립하는 것.
• 특히 t-구조가 사전에 존재하지 않는 경우에도, 가상의 t-절단을 통해 무게 구조로부터 t-구조를 일반화하여 구성하는 것.
• 구성계층의 코herent sheaf와 완전 복합체의 유도 범주 맥락에서 무게 구조에 대해 수직 t-구조를 연구하는 것.
• 수직 t-구조로부터 무게 구조를 재구성하고, 이들의 하트 사이의 관계를 분석하는 것.
• 포화된 R-선형 범주에서 유계된 t-구조가 유계된 무게 구조와 대응되는 조건을 제공하는 것.

제안 방법

• t-구조의 존재를 요구하지 않는 무게 구조의 순수한 정의에 기반한, 코homological 함자들의 가상 t-절단(virtual t-truncations) 개념을 도입하는 것.
• 브라운 표현 가능성 성질을 이용하여, 오른쪽으로 인접한 t-구조가 존재하는 것은 무게 구조가 분쇄(smashing)일 때이고 그 때에만 성립함을 증명하는 것.
• 순수 함자(pure functors)와 제품을 보존하는 함자들을 사용하여, t-구조의 하트가 무게 구조의 하트에서 아벨 군으로의 제품을 보존하는 함자들로 특징지어짐을 설명하는 것.
• 이중성과 코표현 가능성 가정을 이용하여, 동일한 삼각 범주 D의 부분범주에 대해 수직 t-구조들을 구성하는 것.
• 카루비 환경(Karoubi envelope)과 t-구조의 하트를 통한 부분범주의 생성을 활용하여, t-구조로부터 무게 구조를 구성하는 것.
• 더 큰 삼각 범주 D 내의 부분범주 C와 C' 사이의 이중성과 수직 조건을 이용하여 수직 t-구조를 정의하고 분석하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 주어진 무게 구조에 대해 오른쪽으로 인접한 t-구조가 존재하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 대표 객체의 존재를 가정하지 않고, 어떻게 무게 구조로부터 t-구조를 구성할 수 있는가?
• RQ3 수직 t-구조의 하트와 무게 구조의 하트 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ4 포화된 R-선형 범주에서 유계된 t-구조가 유계된 무게 구조와 대응되는 조건은 무엇인가?
• RQ5 무게 구조는 수직 t-구조로부터 재구성될 수 있으며, 이러한 재구성이 가능한 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 삼각 범주가 브라운 표현 가능성을 만족하면, 오른쪽으로 인접한 t-구조가 존재하는 것은 무게 구조가 분쇄일 때이고 그 때에만 성립한다.
• t-구조의 하트는 무게 구조의 하트에서 아벨 군으로의 제품을 보존하는 함자들의 범주와 동치이다.
• 유계된 무게 구조를 가진 포화된 R-선형 범주에서, 하트에 충분한 프로젝티브 또는 인젝티브를 가진 유계된 t-구조와 유계된 무게 구조 사이에는 1-1 대응이 존재한다.
• X가 Spec R 위에서 정규적이고 국소적으로 유한한 경우, 완전 복합체의 유도 범주 D^perf(X)는 하트에 충분한 프로젝티브 또는 인젝티브를 가진 유계된 t-구조와 유계된 무게 구조 사이에 1-1 대응을 가진다.
• 무게 구조가 분쇄일 경우, C = D^perf(X)이고 C' = D^b_{coh}(X)일 때, D^b_{coh}(X) 또는 D^-_{coh}(X)에서 수직 t-구조를 구성할 수 있다.
• C의 부분범주 ⟨P_t⟩ ⊂ C에 대해 유계된 무게 구조 w''를 다음과 같이 구성할 수 있다: w''는 t와 엄격하게 왼쪽 수직이며, Hw'' = P_t를 만족하며, 함자들이 코표현 가능하고 유한 타입일 조건을 만족한다.