[논문 리뷰] From WZW models to Modular Functors

Eduard Looijenga|arXiv (Cornell University)|2010. 09. 12.

Black Holes and Theoretical Physics참고 문헌 8인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 점이 있는 곡선의 모듈리 스택 위의 행렬식 선다발에 관련된 ${\mathbb{G}}_m$-_bundle 위의 국소체계로 Wess-Zumino-Witten (WZW) 모델을 좌표 불변의 대수기하학적 방법으로 구성한다. WZW 접속의 평탄성과 그 인수 분해 성질을 증명하고, 물리적 형식론(예: 연산자 곱 전개 또는 테이히뮐러 이론)에 의존하지 않고, 오직 대수기하학과 아핀 리 대수의 표현 이론만을 사용하여 세갈의 모듈러 함수를 유도한다.

ABSTRACT

In this survey paper (which supersedes our earlier arXiv preprint math.AG/0507086) we give a relatively simple and coordinate free description of the WZW model as a local system whose base is a G_m-bundle on the moduli stack of pointed curves. We derive its main properties and show how it leads to a modular functor in the spirit of Graeme Segal (except for unitarity). The approach presented here is almost purely algebro-geometric in character; it avoids the Boson-Fermion correspondence, operator product expansions as well as Teichmueller theory.

연구 동기 및 목표

• 점이 있는 곡선의 모듈리 스택 위의 ${\mathbb{G}}_m$-_bundle 위의 국소체계로 WZW 모델을 순수하게 대수기하학적이고 좌표 불변적인 방법으로 기술하는 것.
• 오직 대수기하학과 아핀 리 대수의 표현 이론만을 사용하여 WZW 접속의 평탄성과 그 인수 분해 성질을 도출하는 것.
• 유도된 체계가 물리적 도구(예: 보존-페르미온 대응 또는 테이히뮐러 이론)를 사용하지 않고 세갈의 의미에서 모듈러 함수를 정의함을 보여주는 것.
• 전체적으로 알 gebraic 기하학적 구성과 국소적 초등 이론적 접근 방식 간의 동치성을 확립하여, 접속과 Verlinde 공간이 일치함을 확인하는 것.

제안 방법

• WZW 모델은 리만 곡면 $C$ 위의 $G$-_bundle의 모듈리 스택 위의 행렬식 선다발에 관련된 ${\mathbb{G}}_m$-bundle 위의 국소체계로 구성된다.
• Verlinde 공간 ${\mathbb{H}}_{\ell}(G)_C$는 행렬식 선다발의 $\ell$제곱의 단면 공간으로서 실현되며, 이는 평탄한 프로젝티브 접속을 지닌다.
• 마스лов 지표를 통한 표면의 매핑 클래스군의 중심 확장을 구성하며, 중심 원소 $2(\ell + \check{h})$는 라그랑주 그라스만다인의 분해형 덮개 위의 단면 공간에 자명하게 작용한다.
• 표면의 붙임 연산은 붙인 표면의 라그랑주 그라스만다인을 원래 표면의 라그랑주 그라스만다인에 매립함으로써 형식화되며, 이는 국소체계의 쌍-팬 디컴포지션을 통한 분해를 가능하게 한다.
• 데인 트위스트의 국소체계 위에서의 작용은 스칼라 곱 $\exp\big{(}-\frac{\pi\sqrt{-1}c_{\mu}}{\ell+\check{h}}\big{)}$로 주어지며, 이는 모듈러 함수를 양자군 표현과 연결한다.
• 논문은 물리적 형식론(예: 연산자 곱 전개 또는 테이히뮐러 이론)을 피하고, 오직 모듈리 스택, 행렬식 선다발, 심플렉틱 격자 구조의 기하학만을 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 물리적 장 이론 도구에 의존하지 않고, 좌표 불변의 대수기하학적 프레임워크에서 WZW 모델를 어떻게 기술할 수 있는가?
• RQ2 대수기하학을 통한 Verlinde 다발과 초등 이론의 WZW 접속 사이의 정확한 관계는 무엇인가?
• RQ3 리만 곡면 위의 붙임 연산은 관련 국소체계와 Verlinde 공간 위의 대수적 구조로 어떻게 번역되는가?
• RQ4 매핑 클래스군의 중심 확장이 모듈러 함수를 실현하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 WZW 모델의 인수 분해 및 단일화 성질을 이용하여 쌍-팬 디컴포지션으로부터 전체 모듈러 함수의 구조를 복원할 수 있는가?

주요 결과

• WZW 모델은 $G$-bundle의 모듈리 스택 위의 ${\mathbb{G}}_m$-bundle 위의 국소체계로 구성되며, 기저 공간은 $H_1(C;\mathbb{Z})$의 라그랑주 부분격자로 매개변수화된다.
• Verlinde 다발은 평탄한 프로젝티브 접속을 지닌다. 평탄성은 테타 함수가 만족하는 열 방정식을 통해 증명되며, 문머프의 관찰을 일반화한다.
• 매핑 클래스군은 $\mathbb{Z}$에 대한 중심 확장을 통해 국소체계 위에 작용하며, 중심 원소 $2(\ell + \check{h})$는 라그랑주 그라스만다인의 분해형 덮개 위의 단면 공간에 자명하게 작용한다. 이는 심플렉틱 군의 보편 중심 확장과 일치한다.
• 붙임 성질은 붙인 표면 $\Sigma_\phi$의 국소체계를 원래 표면의 국소체계의 직합으로 식별하며, 이는 표현 $\lambda$와 $\lambda^*$에 따라 인덱싱되며, 라그랑주 그라스만다인의 매립을 통해 제한된다.
• 붙인 경계 성분을 따라 데인 트위스트의 작용은 해당 합성 항목 위에서 스칼라 곱 $\exp\big{(}-\frac{\pi\sqrt{-1}c_{\mu}}{\ell+\check{h}}\big{)}$로 주어지며, 이는 모듈러 함수를 양자군의 융합 규칙과 연결한다.
• 전체 국소체계는 기본 빌딩 블록으로서 3구멍이 있는 구의 구조를 사용하여 쌍-팬 디컴포지션으로부터 재구성될 수 있으며, 이는 융합환의 구조를 통한 Verlinde 공식의 형식적 유도를 가능하게 한다.