[논문 리뷰] Fukaya category of Landau-Ginzburg model

Huijun Fan, Wenfeng Jiang외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 12. 31.

Microtubule and mitosis dynamics인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 비콤팩트 켈러 다양체 위에 정규적 타이드 정확한 헬름홀츠 모폴로지 함수를 지닌 랑드-긴즈부르크 모델의 푸카야 카테고리 구조를 위튼 방정식과 개방 끈 플로어 이론을 통해 수립한다. 랑드-긴즈부르크 브레인은 라그랑주 그라스만ian의 전지적 아벨 쌍대 덮개로 올린 레프슈체츠 심플을 정의하고, 핀 구조를 부여하며, 변형된 위튼 매핑의 매개수 공간을 통해 플로어 복합체 위에 $A_\infty$-구조를 수립하여 호모로지 미러 대칭의 맥락에서 오랫동안 제기된 추측된 푸카야 카테고리의 존재를 증명한다.

ABSTRACT

This article introduces and provides the mathematical foundation of the open string Floer theory of Landau-Ginzburg model viaWitten equation. We introduce the concept of regular tame exact Landau-Ginzburg system on a noncompact Kaehler manifold, and define the notion of Landau-Ginzburg branes, as the objects of the Fukaya category. The study on Witten equation in our context provides the construction of the Fukaya category of Landau-Ginzburg model which was conjectured to be existed in Gaiotto-Moore-Witten's work [22] and Kapranov-Kontsevich-Soibelman's work [30]. This is the first paper in the series of studies on Landau-Ginzburg models in the contexts of the mirror symmetry and other topics.

연구 동기 및 목표

• 개방 끈 플로어 이론을 위튼의 방정식을 통해 랑드-긴즈부르크 모델의 수학적 기초를 제공한다.
• 라그랑주 그라스만ian의 전지적 덮개 위에 올린 구조와 핀 구조를 지닌 레프슈체츠 심플로서 랑드-긴즈부르크 브레인을 정의한다.
• 랑드-긴즈부르크 모델의 푸카야 카테고리를 $A_\infty$-카테고리로 구성하고 $\boldsymbol{G}$-중량을 부여함으로써 호모로지 미러 대칭에서 오랫동안 제기된 추측을 해결한다.
• 일致된 컴actification을 가진 변형된 위튼 매핑의 매개수 공간을 통해 $A_\infty$-관계와 플로어 homology를 수립한다.

제안 방법

• 비콤팩트 켈러 다양체 위에 정규적 타이드 정확한 랑드-긴즈부르크 시스템을 도입하고, 헬름홀츠 모폴로지 함수 $W$를 고려한다.
• 레프슈체츠 심플을 $\operatorname{Re}W$의 기울기 흐름의 안정 다발로 구성하여 심플렉틱 형식 $\omega$ 상의 라그랑주 부분다양체를 이룬다.
• 각 레프슈체츠 심플을 이중화 맵 $i^\#$를 사용하여 전지적 아벨 쌍대 덮개 $\widetilde{\mathcal{G}}M$로 올리고, 라그랑주 그라스만ian의 전지적 덮개 위에 핀 구조 $P^\#$를 부여하여 랑드-긴즈부르크 브레인을 정의한다.
• 브레인 사이의 해밀토니안 코일 $S_W(L_0, L_1)$를 정의하고, 켈러 포텐셜을 변형하여 유한성을 확보한다 (정리 3.12).
• 끝부분이 표시된 디스크와 스트립 유사 끝부분을 지닌 변형된 위튼 방정식 $\partial_{\bar{z}}u^j = \sum_{\bar{i}} h^{\bar{i}j} \partial_{\bar{i}} \overline{W} \sigma + \mu^j$ 를 도입한다.
• 표본 경계 성분과 일관된 끝부분 선택을 가진 안정 곡선의 델리그레-무드포트-스타셰프 컴팩티피케이션을 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 개방 끈 플로어 이론을 통해 랑드-긴즈부르크 모델의 푸카야 카테고리를 엄밀히 정의할 수 있는가?
• RQ2 랑드-긴즈부르크 모델의 맥락에서 라그랑주 브레인의 적절한 기하학적 및 위상수학적 구조는 무엇인가?
• RQ3 이 설정에서 플로어 복합체에 대한 $A_\infty$-관계는 어떻게 확립할 수 있는가?
• RQ4 위튼 방정식과 그 변형은 푸카야 카테고리 수립에 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 $\boldsymbol{G}$-중량과 부호 구조는 $A_\infty$-구조에서 어떻게 정의되고 사용되는가?

주요 결과

• 논문은 $\operatorname{Fuk}(M,h,W)$로 표기되는 랑드-긴즈부르크 모델의 푸카야 카테고리를 $\boldsymbol{G}$-중량을 지닌 $A_\infty$-카테고리로 구성하여, 가이오토-무어-위튼과 카프란프-콘체비치-소이벨만의 추측을 해결한다.
• 랑드-긴즈부르크 브레인은 $L^\# = (L, i^\#, P^\#)$의 삼중으로 정의되며, 여기서 $L$은 레프슈체츠 심플, $i^\#$는 이중화 맵, $P^\#$는 라그랑주 그라스만ian의 전지적 덮개 위의 핀 구조이다.
• 모르피즘 공간 $\operatorname{Hom}(L_0^\#, L_1^\#)$는 $S_W(L_0, L_1)$에 속한 해밀토니안 코일로 생성되는 플로어 복합체 $CF(L_0^\#, L_1^\#)$로 정의된다.
• 합성 사상 $\mu^d$는 부호가 방향성과 $\sigma$-사상에 의해 결정되는 $\mathscr{W}^{d+1}(L,l;K)$의 매개수 공간에서의 강성 해를 세는 방식으로 정의된다.
• $A_\infty$-관계는 에너지 제어, $C^0$-추정 및 전이성에 의해 검증되어 $\boldsymbol{G}$-중량의 맥락에서 $\mu \circ \mu = 0$임을 보장한다.
• $1$차 사상 $\mu^1$은 플로어 미분을 정의하고, 그로 인해 얻어진 플로어 호모로지 $HF_y(A)$는 $\operatorname{Ker}(\mu^1|_{A_y}) / \operatorname{Im}(\mu^1|_{A_{y-f(1)}})$와 동형이다.