[논문 리뷰] Fully nonlinear elliptic and parabolic equations in weighted and mixed-norm Sobolev spaces

Hongjie Dong, Н. В. Крылов|arXiv (Cornell University)|2018. 05. 31.

Advanced Mathematical Physics Problems참고 문헌 15인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 전체 공간과 반공간에서 완전히 비선형 타원형 및 포아르의 방정식에 대해 이완된 볼록성과 거의 VMO에 대한 공간 변수 의존성 하에 가중치와 혼합노름 소볼레프 추정을 수립한다. $A_p$-가중치를 사용한 국소 피퍼만-스타인 날카운 함수 정리와 루비오 데 프랑시아의 외삽 기법을 활용하여, 분할 단위나 명시적 적분 표현에 의존하지 않고 $W^{2,p}$-형 추정을 도출함으로써 이전 결과를 비선형 및 가중치 설정으로까지 확장한다.

ABSTRACT

We prove weighted and mixed-norm Sobolev estimates for fully nonlinear elliptic and parabolic equations in the whole space under a relaxed convexity condition with almost VMO dependence on space-time variables. The corresponding interior and boundary estimates are also obtained.

연구 동기 및 목표

• 선형 또는 연속 계수 사례를 초월하여 완전히 비선형 타원형 및 포아르의 방정식에 대해 가중치와 혼합노름 소볼레프 추정을 확장하는 것.
• 새로운 $A_p$-가중치를 갖는 국소 피퍼만-스타인 정리에 기반하여, 분할 단위나 명시적 해 표현에 의존하지 않고 이완된 볼록성과 거의 VMO에 대한 공간-시간 변수 의존성 하에서 $W^{2,p}$-형 추정을 수립하는 것.
• 지그문드-루비오 데 프랑시아 정신의 일반화된 외삽 정리에 기초하여 전체 공간과 반공간에서 혼합노름 추정을 도출하는 것.
• 거리의 거듭제곱에 비례하는 가중치를 포함한 경계에 가까운 영역을 고려한, $A_p$-가중치를 갖는 가중 소볼레프 공간에서의 완전히 비선형 방정식에 대한 내부 및 경계 추정을 제공하는 것.

제안 방법

• 분할 단위나 명시적 해 표현에 의존하지 않는, $A_p$-가중치를 갖는 국소 피퍼만-스타인 날카운 함수 정리의 응용.
• 에반스-크릴로프 정리로부터 유도된 평균 진동 추정과 가측 계수를 갖는 방정식에 대한 $W^{2}_{ ho}$-형 추정의 적용.
• 지그문드-루비오 데 프랑시아의 영감을 받은 일반화된 외삽 정리(정리 8.1)를 활용하여 $L^p$-형 유계성에서 혼합노름 추정을 도출하는 것.
• 비균일 가중치를 다루기 위해 $A_p$-가중치 이론과 무케힌호프 조건을 타원형 및 포아르의 설정 모두에 적용하는 것.
• 전체 공간과 반공간 영역 모두에 이론을 적용하여, 경계에 가까운 영역의 거리 제곱에 비례하는 가중치를 포함한 경계 추정을 다루는 것.
• 점도 해 이론에 기반하고, $F$ 가 $D^2u$ 에 대해 리프시츠 연속이며, $F(0,x)=0$ 이고, $x$ 에 대해 이완된 볼록성과 VMO 조건을 만족한다고 가정하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 이완된 볼록성과 거의 VMO에 의존하는 공간 변수에 대해, 완전히 비선형 타원형 방정식에 대해 가중치와 혼합노름 소볼레프 추정을 수립할 수 있는가?
• RQ2 명시적 적분 표현 없이, $A_p$-가중치를 갖는 피퍼만-스타인 날카운 함수 정리를 비선형, 비발산형 방정식에 적용할 수 있는가?
• RQ3 다중 $A_p$-가중치가 존재하는 상황에서 외삽 기법을 활용해 완전히 비선형 방정식에 대해 혼합노름 추정을 어떻게 도출할 수 있는가?
• RQ4 완전히 비선형 포아르의 방정식에 대해, 가중치와 혼합노름 공간에서 $W^{2,p}$-형 추정이 성립하는 조건은 무엇인가?
• RQ5 반공간에서 $A_p$-가중치, 특히 경계와의 거리에 비례하는 거듭제곱 가중치를 포함한 경우, 완전히 비선형 방정식에 대해 국소 및 경계 추정을 얻을 수 있는가?

주요 결과

• 저자들은 이완된 볼록성과 거의 VMO에 의존하는 $x$ 에 대해 전체 공간에서 완전히 비선형 타원형 및 포아르의 방정식에 대해 $A_p$-가중치를 갖는 가중 $W^{2,p}$ 추정을 증명한다.
• 분할 단위에 의존하지 않는, 핵심 기술적 도구로서 $A_p$-가중치를 갖는 국소 피퍼만-스타인 날카운 함수 정리가 수립된다.
• 일반화된 외삽 정리(정리 8.1)를 통해 혼합노름 소볼레프 추정이 도출되며, 이는 서로 다른 변수에서 다른 적분 가능성을 갖는 방정식으로 결과를 확장한다.
• 일차 동차 연산자인 $D^2u$ 에 대해, 전체 공간 설정에서 국소 혼합노름 추정이 확보된다.
• 반공간에서 $A_p$-가중치를 갖는 경계 추정이 수립되며, 이는 경계와의 거리에 비례하는 거듭제곱 가중치를 포함한다.
• 결과는 전체 공간, 반공간, 구, 반구 등에 대해 포아르의 방정식로까지 확장되며, 이에 상응하는 가중치 및 혼합노름 추정이 수립된다.