[논문 리뷰] Functional law of large numbers and PDEs for epidemic models with infection-age dependent infectivity

Guodong Pang, Étienne Pardoux|arXiv (Cornell University)|2021. 06. 07.

Mathematical and Theoretical Epidemiology and Ecology Models참고 문헌 23인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 감염 기간에 따라 감염성이 변하는 비마르코프성 전염병 모델에 대해 기능적 대수의 법칙(FLLN)을 수립하여, 극한 역학이 결정론적 볼테라 적분방정식에 의해 지배되며, 정규성 조건 하에서는 볼테라 방정식으로 정의된 경계 조건을 갖는 편미분방정식(PDE)에 의해 지배된다는 것을 보여준다. 주요 기여는 일반적인 감염 기간 분포를 갖는 개인 수준의 확률적 과정으로부터 PDE 기반의 거시적 모델을 엄밀하게 유도한 것이다.

ABSTRACT

We study epidemic models where the infectivity of each individual is a random function of the infection age (the elapsed time of infection). To describe the epidemic evolution dynamics, we use a stochastic process that tracks the number of individuals at each time that have been infected for less than or equal to a certain amount of time, together with the aggregate infectivity process. We establish the functional law of large numbers (FLLN) for the stochastic processes that describe the epidemic dynamics. The limits are described by a set of deterministic integral equations, which has a further characterization using PDEs under some regularity conditions. The solutions are characterized with boundary conditions that are given by a system of Volterra equations. We also characterize the equilibrium points for the PDEs in the SIS model with infection-age dependent infectivity. To establish the FLLNs, we employ a useful criterion for weak convergence for the two-parameter processes together with useful representations for the relevant processes via Poisson random measures.

연구 동기 및 목표

• 감염 기간에 따라 감염성이 변하는 전염병 모델에 대해 엄밀한 수학적 프레임워크를 개발하는 것.
• 감염 기간의 일반적인 분포를 允허함으로써 고전적인 SIR/SIS 모델을 마르코프성 가정을 초월하여 확장하는 것.
• 감염 기간과 집합 감염성을 추적하는 이중 매개변수 확률 과정에 대해 기능적 대수의 법칙(FLLN)을 수립하는 것.
• 볼테라 적분방정식을 사용한 결정론적 역학을 특징으로 하며, 정규성 조건 하에서는 볼테라 방정식으로 정의된 경계 조건을 갖는 편미분방정식(PDE)을 통해 극한 역학을 기술하는 것.
• 감염 기간에 따라 감염성이 변하는 SIS 모델의 평형점들을 분석하는 것.

제안 방법

• 각 개인의 감염성을 감염 기간의 함수로 보는 càdlàg, 유계, i.i.d. 확률 함수로 모델링하며, 잠복기 존재 가능성을 허용한다.
• 시간 t에서 감염 기간 ≤ x인 감염자 수를 추적하는 이중 매개변수 확률 과정을 정의한다.
• 개인 기반 확률 모델에서 감염의 도착 및 진화를 포아송 랜덤 측도로 표현한다.
• 이중 매개변수 과정에 대한 기준을 사용하여 스케일된 확률 과정의 약한 수렴을 확립한다.
• 극한을 결정론적 볼테라 적분방정식 시스템의 해로 도출한다.
• 정규성 조건 하에서는 감염자 밀도가 볼테라 적분방정식으로 정의된 경계 조건을 갖는 일阶 편미분방정식(PDE)을 만족함을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 대규모 인구에서 감염 기간에 따라 감염성이 변하는 전염병 모델의 역학은 어떻게 기술할 수 있는가?
• RQ2 모집단 크기가 무한히 커질 때 감염 기간과 집합 감염성을 추적하는 확률 과정의 극한 행동은 무엇인가?
• RQ3 극한 과정이 편미분방정식(PDE)을 만족하는 조건은 무엇인가?
• RQ4 감염 기간에 따라 감염성이 변하는 특성과 회복 과정을 고려할 때, PDE의 경계 조건은 어떻게 결정되는가?
• RQ5 감염 기간에 따라 감염성이 변하는 SIS 모델의 평형 해는 무엇인가?

주요 결과

• 이중 매개변수 확률 과정에 대해 기능적 대수의 법칙(FLLN)이 성립하며, 극한은 결정론적 볼테라 유형의 적분방정식 시스템을 만족한다.
• 정규성 조건 하에서는 감염자 밀도의 극한이 볼테라 적분방정식으로 정의된 경계 조건을 갖는 일계 편미분방정식(PDE)을 따르게 된다.
• 집합 감염성 과정은 극한 감염 기간 분포에 대한 평균 감염성 함수의 적분으로 수렴한다.
• 일정한 감염성을 갖는 고전적 SIR 모델의 경우, PDE는 잘 알려진 케르맥-맥켄드릭 PDE로 간소화된다.
• 감염 기간에 따라 감염성이 변하는 SIS 모델의 평형점은 PDE 경계 조건에서 유도된 볼테라 방정식의 연립방정식을 푸름으로써 특징지어진다.
• 극한 과정은 시간에 대해 연속적이며, 확률 과정의 극한 수렴은 국소적으로 균일하다.