[논문 리뷰] Functorial LCH for immersed Lagrangian cobordisms

Yu Pan, Dan Rutherford|arXiv (Cornell University)|2019. 05. 21.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 26인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 콘형 레전드리안 코브อร드리즘을 사용하는 새로운 프레임워크를 도입하여 레전드리안 접촉 homology (LCH) DGA의 함자성 구조를 매립된 정확한 라그랑주 코브르디즘에서 매립된 정확한 라그랑주 코브르디즘으로 확장한다. 양끝의 LCH DGA에서 코브르디즘과 관련된 새로운 DGA로의 DGA 사상 다이어그램과 코브르디즘 DGA에서 음의 끝으로의 DGA 사상 다이어그램을 통해 매립 DGA 사상을 구성하고, 이는 호환성과 위상수학적 불변성을 보장하며, 단일 이중점만을 가진 매립 채움을 통해 실현 가능한 증명이 불가능한 예시를 제시한다.

ABSTRACT

For $1$-dimensional Legendrian submanifolds of $1$-jet spaces, we extend the functorality of the Legendrian contact homology DG-algebra (DGA) from embedded exact Lagrangian cobordisms, as in \cite{EHK}, to a class of immersed exact Lagrangian cobordisms by considering their Legendrian lifts as conical Legendrian cobordisms. To a conical Legendrian cobordism $Σ$ from $Λ_-$ to $Λ_+$, we associate an immersed DGA map, which is a diagram $$\alg(Λ_+) \stackrel{f}{ ightarrow} \alg(Σ) \stackrel{i}{\hookleftarrow} \alg(Λ_-), $$ where $f$ is a DGA map and $i$ is an inclusion map. This construction gives a functor between suitably defined categories of Legendrians with immersed Lagrangian cobordisms and DGAs with immersed DGA maps. In an algebraic preliminary, we consider an analog of the mapping cylinder construction in the setting of DG-algebras and establish several of its properties. As an application we give examples of augmentations of Legendrian twist knots that can be induced by an immersed filling with a single double point but cannot be induced by any orientable embedded filling.

연구 동기 및 목표

• 매립된 정확한 라그랑주 코브르디즘에서 매립된 정확한 라그랑주 코브르디즘으로 레전드리안 접촉 homology (LCH) DGA의 함자성 구조를 확장하는 것.
• 콘형 레전드리안 코브르디즘 $\Sigma$에서 $\Lambda_{-}$에서 $\Lambda_{+}$로의 $\mathcal{A}(\Sigma)$로 표기되는 새로운 DGA를 정의하고, 고정된 메트릭에서 콘형 레전드리안 위상수학적 변형에 대해 불변성을 확보하는 것.
• 매립 DGA 사상 $\mathcal{A}(\Lambda_{+}) \xrightarrow{f} \mathcal{A}(\Sigma) \xleftarrow{i} \mathcal{A}(\Lambda_{-})$를 구성하는 것. 여기서 $f$는 DGA 사상이고 $i$는 포함 사상으로, 매립된 경우의 일반화이다.
• 이 구성이 레전드리안과 매립 라그랑주 코브르디즘의 범주에서 DGA와 매립 DGA 사상의 범주로의 함자로 정의됨을 확립하는 것.
• 단일 이중점을 가진 매립 채움을 통해 실현 가능한 레전드리안 투습 뭉치의 증명 예시를 제공하며, 이는 임의의 옹호된 매립 채움을 통해 실현될 수 없는 경우이다.

제안 방법

• 매립된 정확한 라그랑주 코브르디즘 $L$을 심플렉틱 동형사상 $\Phi: \mathrm{Symp}(J^1M) \to T^*(\mathbb{R}_{>0} \times M)$를 통해 $J^1(\mathbb{R}_{>0} \times M)$에서 콘형 레전드리안 코브르디즘 $\Sigma$로 올리는 구성.
• DGA $\mathcal{A}(\Sigma)$는 $\mathbb{Z}/2$ 위에서 $\mathcal{A}(\Lambda_{-})$와 $\mathcal{A}(L)$의 자유곱으로 정의되며, $\partial_\Sigma$는 $\Lambda_{-}$의 리브 끝과 $L$의 이중점에서 끝나는 강직한 힐베르트 디스크를 세는 것으로 정의된다.
• DGA 사상 $f: \mathcal{A}(\Lambda_{+}) \to \mathcal{A}(\Sigma)$는 $\mathbb{R} \times \Lambda_{+}$에 경계를 가지며, $L$의 이중점 또는 $\Lambda_{-}$의 리브 끝에서 끝나는 강직한 힐베르트 디스크를 세어 정의되며, 리브니츠 법칙을 통해 확장된다.
• 相対 SFT와 레전드리안 접촉 homology의 컴actness 및 접합 결과를 사용하여, 고정된 메트릭에서 $\Sigma$의 콘형 레전드리안 위상수학적 변형에 대해 미분과 사상이 불변임을 보였다.
• 제한된 거의 복소수적 스트럭처의 클래스에 대해, 힐베르트 디스크 정의와 기울기 흐름 트리(GFT) 정의 사이의 동치를 확립하였다.
• 매립된 경우에 이 구성이 기존의 표준 DGA 사상과 일致함을 보여, 이전 연구 결과와의 일致성을 확인하였다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 레전드리안 접촉 homology DGA의 함자성은 매립된 정확한 라그랑주 코브르디즘으로부터 매립된 정확한 라그랑주 코브르디즘으로 확장될 수 있는가?
• RQ2 매립된 라그랑주 코브르디즘에 의해 유도된 DGA 사상의 올바른 대수적 구조는 무엇인가?
• RQ3 콘형 레전드리안 코브르디즘 $\Sigma$의 DGA는 어떻게 정의되어야 하며, 이는 위상수학적 변형에 대해 불변이고 끝에서 표준 DGA를 복원하는가?
• RQ4 단일 이중점을 가진 매립 채움을 통해 실현 가능한 레전드리안 뭉치의 증명이 존재하는가, 그러나 임의의 옹호된 매립 채움을 통해 실현되지 않는가?
• RQ5 매립된 경우에 힐베르트 디스크 정의와 기울기 흐름 트리 정의가 DGA와 DGA 사상에서 일致하는가?

주요 결과

• 논문은 콘형 레전드리안 코브르디즘 $\Sigma$에서 $\Lambda_{-}$에서 $\Lambda_{+}$로의 잘 정의된 DGA $\mathcal{A}(\Sigma)$를 구성하였으며, 고정된 메트릭에서 콘형 레전드리안 위상수학적 변형에 대해 불변성을 확보하였다.
• 유도된 DGA 사상 $f: \mathcal{A}(\Lambda_{+}) \to \mathcal{A}(\Sigma)$와 포함 사상 $i: \mathcal{A}(\Lambda_{-}) \to \mathcal{A}(\Sigma)$는 매립 DGA 사상 다이어그램을 형성하며, 매립된 경우의 일반화이다.
• 이 구성은 레전드리안과 매립 라그랑주 코브르디즘의 범주에서 DGA와 매립 DGA 사상의 범주로의 반대함자로 정의된다.
• 제한된 거의 복소수적 스트럭처의 클래스에 대해, 힐베르트 디스크 정의와 기울기 흐름 트리 정의 사이의 DGA와 사상 $f$가 일치한다.
• 논문은 단일 이중점을 가진 매립 채움을 통해 실현 가능한 레전드리안 투습 뭉치의 증명 예시를 명시적으로 제공하며, 이는 임의의 옹호된 매립 채움을 통해 실현되지 않는 경우이다.
• 매립된 경우에 $f_{\Sigma}$가 표준 DGA 사상과 일치함을 보여, 이는 이전 결과와의 일치성을 확인한다.