[논문 리뷰] Further Algebraic Algorithms in the Congested Clique Model and Applications to Graph-Theoretic Problems

François Le Gall|arXiv (Cornell University)|2016. 08. 09.

Complexity and Algorithms in Graphs참고 문헌 28인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 혼잡한 클리크 모델에서 새로운 대수적 알고리즘을 제안하여 다수의 행렬 곱셈, 행렬식, 질량, 역행렬, 선형 시스템을 효율적으로 계산할 수 있도록 한다. 블록 분해와 난수 행렬 기법을 활용해 k개의 행렬 곱셈에 대해 비선형 라운드 복잡도를 달성함으로써, 모든 쌍의 최단 경로, 지름 계산, Gallai-Edmonds 분해 및 이분 그래프에서의 최소 정점 커버와 같은 그래프 분해 문제에 대해 더 빠른 알고리즘을 제공한다.

ABSTRACT

Censor-Hillel et al. [PODC'15] recently showed how to efficiently implement centralized algebraic algorithms for matrix multiplication in the congested clique model, a model of distributed computing that has received increasing attention in the past few years. This paper develops further algebraic techniques for designing algorithms in this model. We present deterministic and randomized algorithms, in the congested clique model, for efficiently computing multiple independent instances of matrix products, computing the determinant, the rank and the inverse of a matrix, and solving systems of linear equations. As applications of these techniques, we obtain more efficient algorithms for the computation, again in the congested clique model, of the all-pairs shortest paths and the diameter in directed and undirected graphs with small weights, improving over Censor-Hillel et al.'s work. We also obtain algorithms for several other graph-theoretic problems such as computing the number of edges in a maximum matching and the Gallai-Edmonds decomposition of a simple graph, and computing a minimum vertex cover of a bipartite graph.

연구 동기 및 목표

• 중앙집중식 행렬 알고리즘의 적용 범위를 혼잡한 클리크 모델으로 확장하기 위해 고급 대수 기법을 개발한다.
• 이전 연구의 한계를 보완하기 위해 단일 정방행렬 곱셈 외에도 다수의 독립적인 행렬 곱셈과 직사각형 행렬을 지원한다.
• 모든 쌍의 최단 경로, 지름, 최대 매칭, 정점 커버와 같은 기본적인 그래프 이론 문제에 대해 효율적인 분산 알고리즘을 설계한다.
• 혼잡한 클리크 모델에서 블록 병렬화 전략을 통해 행렬 곱셈 수 k에 대해 비선형 의존도를 달성한다.
• 난수 행렬 대수를 사용하여 Gallai-Edmonds 분해 및 관련 그래프 문제에 대한 분산 구현을 제공한다.

제안 방법

• k개의 행렬 곱셈을 계산할 때 n노드 네트워크를 k개의 그룹으로 블록 분해하고, 각 블록이 중앙집중식 최적의 행렬 곱셈 알고리즘의 분산 버전을 사용해 하나의 곱셈을 계산하도록 할당한다.
• 유한체 F = Z_p의 원소로 행렬 변수를 난수 대체하여 증강 행렬의 질량 조건을 통해 비핵심 정점 여부를 테스트한다.
• 난수 상삼각 토플리츠 행렬과 행렬 역행렬을 사용해 난수 투테 매트릭스의 우측 영공간 기저를 구성함으로써 비핵심 정점을 식별한다.
• 이전 연구에서 제안한 역행렬 및 행렬 곱셈 알고리즘을 활용해 고확률로 O(n^{1-1/ω})라운드 내에 영공간 기저를 계산한다.
• 영공간 기저 행렬에 항등행렬을 곱하여 행 단위로 e_i M ≠ 0 여부를 테스트하고, 질량 증가를 통해 비핵심 정점을 식별한다.
• 기존의 환원 방법을 활용해 최소 정점 커버 및 최대 매칭과 같은 그래프 문제를 Gallai-Edmonds 분해로 환원한 후, 혼잡한 클리크에서 효율적으로 구현한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 혼잡한 클리크 모델에서 단일 행렬 곱셈을 k번 순차적으로 적용하는 것보다 다수의 독립 행렬 곱셈을 더 효율적으로 계산할 수 있는가?
• RQ2 혼잡한 클리크 모델에서 직사각형 행렬 곱셈과 질량 계산을 어떻게 효율적으로 병렬화할 수 있는가?
• RQ3 혼잡한 클리크 모델에서 대수적 기법을 사용해 Gallai-Edmonds 분해를 비선형 단계 내에 계산할 수 있는가?
• RQ4 혼잡한 클리크 모델에서 대수적 방법을 사용해 모든 쌍의 최단 경로와 그래프 지름을 계산할 때의 라운드 복잡도는 얼마인가?
• RQ5 난수 행렬 대수를 사용해 통신 비용을 낮게 유지하면서 최대 매칭 및 최소 정점 커버와 같은 조합적 그래프 문제를 혼잡한 클리크에서 해결할 수 있는가?

주요 결과

• k < n일 경우, k개의 독립적인 n×n 행렬 곱셈을 계산하는 데 O(k^{2/ω} n^{1-2/ω})라운드 복잡도를 달성하여 기존의 O(k n^{1-2/ω}) 접근보다 향상된다.
• k ≥ n일 경우, 라운드 복잡도는 O(k)로 감소하여 k가 클 경우 k에 대한 선형 의존도를 보인다.
• Gallai-Edmonds 분해는 Õ(n^{1-1/ω})라운드 내에 계산되며, 이는 이분 그래프에서 최소 정점 커버를 효율적으로 계산할 수 있음을 의미한다.
• 난수 행렬 대체 및 영공간 기저 계산을 통해 비핵심 정점 집합 D(G)를 O(n^{1-1/ω})라운드 내에 계산할 수 있다.
• 작은 정수 가중치를 가진 그래프에서 모든 쌍의 최단 경로 및 지름 계산에 대해 향상된 라운드 복잡도를 제공한다.
• 이전 연구에서 Censor-Hillel 등이 제안한 바를 확장하여 직사각형 행렬과 다수의 곱셈을 지원함으로써 그래프 이론 문제에 더 넓은 적용 가능성을 제공한다.