[논문 리뷰] Further $q$-series identities and conjectures relating false theta functions and characters

Chris Jennings-Shaffer, Antun Milas|arXiv (Cornell University)|2020. 05. 27.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 27인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 이전의 $q$-급수 항등식 연구를 확장하여, 가짜 θ 함수, 모크 모듈라 형식, 정점 대수 모듈러의 성분과의 새로운 관계를 유도한다. 반정수 특성과 함께 항등식을 도입하고, $q \mapsto q^{-1}$에 따른 역 $q$-급수를 연구하며, 주요 부분공간과 무한 제트 스킴과의 연결을 수립한다. 일부 경우에 대해 모듈라 성질을 증명하고, 특히 尾합(sum of tails)과 $k$-중 초함수 급수의 맥락에서 양자 모듈라 성질을 추측한다.

ABSTRACT

In this short note, a companion of [20], we discuss several families of $q$-series identities in connection to false and mock theta functions, characters of modules of vertex algebras, and "sum of tails".

연구 동기 및 목표

• 가짜 θ 함수와 정점 대수 모듈러의 성분을 포함하는 이전의 $q$-급수 항등식을 반정수 특성으로 확장한다.
• 합계 변수 $k$개와 $r_i \in \{1,2\}$를 가진 $q$-초함수 급수를 연구하며, $k \leq \sum r_i \leq 2k$인 경우에 집중한다.
• 특히 정리 1.1과 1.2에서 유도된 항등식에 대해 $q \mapsto q^{-1}$의 형식적 역전을 분석하고, 그들의 모듈라 또는 양자 모듈라 성격을 평가한다.
• 유도된 $q$-급수와 정점 대수의 주요 부분공간 및 노름화된 정점 대수의 무한 제트 스킴 간의 연결을 수립한다.
• 특히 $r_i = 1$인 경우에 대해 $k$-중 초함수 급수의 조합론적 및 모듈라 구조를 탐색하고, 급수가 모듈라, 가짜, 또는 양자 모듈라 형식으로 행동하는 경우를 식별한다.

제안 방법

• 비가환 대수적 관계를 통해 양자 다이로그함수와 Faddeev-Kashaev의 오각형 항등식을 이용해 $q$-급수 항등식을 도출한다.
• Bailey의 보조정리와 알려진 $q$-급수 항등식(예: 오일러의 항등식, $q$-이항정리)을 적용하여 새로운 초함수 급수 항등식을 생성한다.
• 특성 $r_i \in \{1,2\}$를 가진 $q$-초함수 형태 $\sum_{n_1,\dots,n_k \geq 0} \frac{q^{\sum n_i + \sum n_i n_{i+1}}}{(q)_{n_1}^{r_1} \cdots (q)_{n_k}^{r_k}}$를 활용하여 모듈라 및 비모듈라 행동을 탐색한다.
• 형식적 역전 $q \mapsto q^{-1}$를 분석하여 양자 모듈라 형식을 연구하고, 정리 1.2의 역행 급수에 대해 $A_{2k-1}^{(1)}$ 주요 부분공간의 성분 공식을 통해 모듈라성을 증명한다.
• $q$-급수와 정점 대수의 구조를 연결하기 위해, $L_{sp(2k)}(\Lambda_0)$의 주요 부분공간 $W_L$의 성분으로서 식별하고, 이를 아핀 스킴의 무한 제트 스킴과 연결한다.
• 단항식 기저 구성과 그레이드 성분 계산을 통해 $k$-중 급수에서 $r_i = 1$일 때 $F(1,\dots,1) = \text{ch}[W_L](q)$임을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 반정수 특성을 가진 가짜 θ 함수를 포함하는 $q$-급수 항등식은 체계적으로 유도되고 분류될 수 있는가?
• RQ2 정리 1.1과 1.2에서 유도된 항등식에 대해 $q \mapsto q^{-1}$로 역행한 $q$-급수의 모듈라 또는 양자 모듈라 성격은 무엇인가?
• RQ3 특히 $r_i = 1$인 $k$-중 $q$-초함수 급수에서, 생성 함수가 $k$에 따라 모듈라, 가짜, 또는 양자 모듈라 형식으로 행동하는 이유는 무엇인가?
• RQ4 꼬리 합(sum of tails) 유형의 $q$-급수는 주요 부분공간과 무한 제트 스킴의 성분과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ5 $C_n^{(1)}$-모듈러의 단항식 기저의 조합론은 $r_i = 1$인 $q$-급수의 구조를 설명하기 위해 확장될 수 있는가?

주요 결과

• 정리 1.2에서 유도된 역행 급수는 $A_{2k-1}^{(1)}$ 주요 부분공간의 성분과 일치하므로 모듈라임을 증명하였다.
• 정리 1.1에서 유도된 역행 급수에 대해서는 모듈라성을 추측한다(추측 5.2)하고, 삼차항까지 검증하였다(정리 5.3). 이는 $L_{sp(2k)}(\Lambda_0)$의 수준 1 성분과 연결된다.
• $k=3$ 및 $k=8$일 때, $r_i = 1$인 $q$-급수는 본질적으로 모듈라임을 보였고, $k=5$ 및 $k=7$일 때는 양자 모듈라 형식으로 행동함을 확인하였다.
• $k$개 변수와 $r_i = 1$을 가진 $q$-급수 $F(1,\dots,1)$는 주요 부분공간 $W_L$의 성분과 일치함을 보여, 정점 대수 표현 이론과의 직접적 연결을 확립하였다.
• $X = \text{Spec}(\mathbb{C}[x_1,\dots,x_k]/(x_1x_2,\dots,x_{k-1}x_k))$의 궤도 공간 $J_\infty X$의 힐베르트 급수는 $\text{ch}[W_L](q)$와 일치하며, 이는 $W_L$과 $J_\infty R$가 그레이드 교환 정점 대수로서 동형임을 확인한다.
• $k=3$에서 순환 이차형식 $n_1n_2 + n_2n_3 + n_3n_1$을 가질 때, $q$-급수는 $\frac{1}{(q)_\infty} \sum_{n \geq 0} \frac{q^n}{(q^{n+1})_{n+1}}$와 일치하며, 라마누잔의 오랜 다섯 번째 모크 모듈라 함수와 관련된 알려진 항등식이다.