[논문 리뷰] Further results on the structure of (co)ends in finite tensor categories

Kenichi Shimizu|arXiv (Cornell University)|2018. 01. 08.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 31인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 유한 텐서 범주에서 (코)엔드를 분석하기 위한 일반적 프레임워크를 수립한다. 작동 함수 ρ: C → Rex(M)에 대한 오른쪽 수반 함자 ρ^ra를 도입하여, 내부 함자 Hom을 포함한 엔드로 주어진다는 것을 보이며, 주요 기여는 Ext^•_C(1, ρ^ra(id_M))가 M의 호크시ลด 호모로지와 동형이며, 이는 모듈라 텐서 범주에서 SL₂(ℤ)의 프로젝티브 작용을 이 호모로지에 유도한다는 것이다.

ABSTRACT

Let $\mathcal{C}$ be a finite tensor category, and let $\mathcal{M}$ be an exact left $\mathcal{C}$-module category. The action of $\mathcal{C}$ on $\mathcal{M}$ induces a functor $ρ: \mathcal{C} o \mathrm{Rex}(\mathcal{M})$, where $\mathrm{Rex}(\mathcal{M})$ is the category of $k$-linear right exact endofunctors on $\mathcal{M}$. Our key observation is that $ρ$ has a right adjoint $ρ^{\mathrm{ra}}$ given by the end $ρ^{\mathrm{ra}}(F) = \int_{M \in \mathcal{M}} \underline{\mathrm{Hom}}(M, M)$. As an application, we establish the following results: (1) We give a description of the composition of the induction functor $\mathcal{C}_{\mathcal{M}}^* o \mathcal{Z}(\mathcal{C}_{\mathcal{M}}^*)$ and Schauenburg's equivalence $\mathcal{Z}(\mathcal{C}_{\mathcal{M}}^*) \approx \mathcal{Z}(\mathcal{C})$. (2) We introduce the space $\mathrm{CF}(\mathcal{M})$ of `class functions' of $\mathcal{M}$ and initiate the character theory for pivotal module categories. (3) We introduce a filtration for $\mathrm{CF}(\mathcal{M})$ and discuss its relation with some ring-theoretic notions, such as the Reynolds ideal and its generalizations. (4) We show that $\mathrm{Ext}_{\mathcal{C}}^{\bullet}(1, ρ^{\mathrm{ra}}(\mathrm{id}_{\mathcal{M}}))$ is isomorphic to the Hochschild cohomology of $\mathcal{M}$. As an application, we show that the modular group acts projectively on the Hochschild cohomology of a modular tensor category.

연구 동기 및 목표

• 범주적 수반을 이용하여 유한 텐서 범주에서 (코)엔드를 분석하기 위한 일반적 프레임워크를 개발한다.
• 유도 함자와 쇼아엔부르그의 동치의 조합을 오른쪽 수반 ρ^ra를 통해 기술한다.
• 클래스 함수 공간 CF(M)를 통한 펄서널 모듈러 범주에 대한 특성 이론을 시작한다.
• CF(M)의 필터링이 레이놀즈 아이디얼과 같은 링 이론적 개념과 어떻게 관련되는지 기술한다.
• Ext^•_C(1, ρ^ra(id_M))와 M의 호크시ลด 호모로지 사이의 동형을 확립하고, 이를 통해 모듈라 군 작용을 유도한다.

제안 방법

• 유한 텐서 범주 C와 정확한 왼쪽 C-모듈러 범주 M에 대해 작동 함수 ρ: C → Rex(M)를 정의한다.
• ρ가 오른쪽 수반 ρ^ra를 가지며, F ∈ Rex(M)에 대해 ρ^ra(F) = ∫_{M∈M} Hom(M, F(M))로 명시적으로 주어진다는 것을 보인다.
• M이 분해 불가능하고 정확할 때 ρ^ra가 k-선형, 충실하고 정확한 함자라는 것을 증명한다.
• 엔드의 보편 이중구성 자연 변환을 사용하여 ρ^ra에 모노이드 및 이중모듈러 구조를 부여한다.
• ρ^ra의 구조를 이용해 범주론적 구성들을 올리고, 엔드 A와 코엔드 L과 같은 기존 불변량과 연관시킨다.
• 이 프레임워크를 적용하여 Ext 군과 호크시ลด 호모로지 사이의 동형을 유도하고, 모듈라 군 작용을 분석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 작동 함수 ρ: C → Rex(M)의 오른쪽 수반은 범주론적 엔드로 어떻게 명시적으로 기술될 수 있는가?
• RQ2 ρ^ra는 이중 범주의 중심에서 유도 함자와 쇼아엔부르그의 동치의 조합을 기술하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 펄서널 모듈러 범주에서 클래스 함수 공간 CF(M)는 단순 대상의 특성과 어떻게 관련되는가?
• RQ4 CF(M)에 대한 필터링의 의미는 무엇이며, Ext^1(M,M)과 레이놀즈 아이디얼과의 관계는 어떠한가?
• RQ5 Ext^•_C(1, ρ^ra(id_M))와 M의 호크시ลด 호모로지 사이의 동형은 어떻게 모듈라 군 SL₂(ℤ)의 프로젝티브 작용을 이끌어내는가?

주요 결과

• 오른쪽 수반 ρ^ra(F)는 명시적으로 엔드 ∫_{M∈M} Hom(M, F(M))로 주어지며, 이는 핵심 함자에 대한 구체적인 표현을 제공한다.
• 유도 함자 C^*_M → Z(C^*_M)와 쇼아엔부르그의 동치 Z(C^*_M) ≈ Z(C)의 조합이 ρ^ra를 통해 명시적으로 기술된다.
• 클래스 함수 공간 CF(M)가 도입되었으며, 펄서널 M에 대해 CF_1(M)은 단순 대상의 특성들에 의해 생성되고, CF_2(M)는 단순 L에 대해 Ext^1(L,L)을 포함하는 정확한 수열에 놓인다.
• CF(M)의 필터링은 레이놀즈 아이디얼과 그 일반화와 관련되어 있으며, 특히 펄서널 경우에 해당한다.
• Ext^•_C(1, ρ^ra(id_M))는 M의 호크시ลด 호모로지와 동형이며, 이 동형은 모듈라 텐서 범주에서 SL₂(ℤ)가 이 호모로지에 프로젝티브 작용한다는 것을 암시한다.