[논문 리뷰] $G$-martingale representation in the $G$-L'evy setting

Krzysztof Paczka|arXiv (Cornell University)|2014. 04. 08.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 12인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 유한 활동성과 비드라이프를 갖는 $G$-Lévy 과정에 대해 마팅게일 표현 정리를 수립하며, 이러한 마팅게일이 세 가지 성분으로 분해됨을 보여준다: 연속적인 $G$-브라운 운동 부분에 대한 이토 적분, 점프 부분에 대한 보정된 이토-레비 적분, 그리고 비증가하는 연속적인 $G$-마팅게일. 핵심 기여는 비선형 기대 하에서 엄밀한 분해를 확립함으로써, 볼륨과 점프 불확실성을 포함하는 비지배 확률 측도로의 고전적 마팅게일 표현 이론을 확장한 것이다.

ABSTRACT

In this paper we give the decomposition of a martingale under the sublinear expectation associated with a $G$-L'evy process X with finite activity and without drift. We prove that such a martingale consists of an Ito integral w.r.t. continuous part of a $G$-L'evy process, compensated Ito-L'evy integral w.r.t. jump measure associated with $X$ and a non-increasing continuous $G$-martingale starting at 0.

연구 동기 및 목표

• G-브라운 운동을 점프 불확실성을 포함하여 일반화한 $G$-Lévy 과정으로 마팅게일 표현 이론을 확장하기.
• 볼륨과 점프 측도가 모호하고 단일 확률 측도에 의해 지배되지 않는 금융 모델 불확실성 문제를 다루기.
• 드라이프가 없고 볼륨 및 점프 불확실성이 상호 독립일 때 비선형 기대 하에서 $G$-마팅게일의 분해를 수립하기.
• 분해가 대칭 이토 적분, 보정된 점프 적분, 비증가하는 연속적인 $G$-마팅게일을 포함하며, 서로 다른 확률 측도 하에서 각각의 독특한 성질을 갖는다는 것을 증명하기.

제안 방법

• 비선형 적분-미분방정식의 점성해를 통해 볼륨, 점프, 드라이프 불확실성을 반영하는 비선형 기대 공간 $(\Omega, \mathcal{H}, \mathbb{E})$ 를 정의하는 프레임워크를 사용한다.
• 이토 미적분을 $G$-Lévy 설정에서 사용할 수 있도록 보장하기 위해 점성해의 두 번째 순서 비퇴화 조건을 활용하여 해의 미끄러움을 보장한다.
• 점프와 관련된 포아송 랜덤 측도에 대해 보정 절차를 도입하여, 보정된 적분이 비선형 기대 하에서 $G$-마팅게일임을 증명한다.
• 비지배 확률 측도의 가족 $\mathfrak{P}$ 에서의 본질적 상한을 사용하여 허들러 부등식을 적용해 분해에 대한 사전 추정을 유도한다.
• 정지시간 $\tau_\lambda$ 에서의 근사 및 분할 기법을 통해 간단한 랜덤 변수에 대해 표현을 처음으로 수립한 후, 더 넓은 범위의 $L^p_G$-적분 가능한 랜덤 변수로 확장한다.
• 조건부 기대 $M_t = \mathrm{essential\,sup}_{\mathbb{Q} \in \mathfrak{P}(t,\mathbb{P})} \mathbb{E}^\mathbb{Q}[\xi|\mathcal{F}_t]$ 가 잘 정의되어 있고, $\mathbb{P} \in \mathfrak{P}$ 전반에 걸쳐 균일한 유계성을 만족한다는 사실을 증명에 활용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유한 활동성과 비드라이프를 갖는 $G$-Lévy 과정 하에서 마팅게일은 기본 성분들로 어떻게 분해될 수 있는가?
• RQ2 비선형 기대 하에서 마팅게일 표현에 있어 보정된 이토-레비 적분의 역할은 무엇인가?
• RQ3 다양한 비지배 확률 측도 하에서 분해의 각 성분은 어떻게 행동하는가?
• RQ4 G-기대 하에서 확산과 점프 불확실성을 모두 포함하는 과정으로 고전적 마팅게일 표현 정리가 확장될 수 있는가?
• RQ5 G-Lévy 설정에서 이러한 분해의 존재성과 유일성을 보장하는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 마팅게일 분해는 세 가지 수직 성분으로 이루어지며, 각각 연속적인 $G$-브라운 운동에 대한 이토 적분, 점프 측도에 대한 보정된 이토-레비 적분, 그리고 0에서 시작하는 비증가하는 연속적인 $G$-마팅게일이다.
• 이토 적분 성분은 대칭 마팅게일이므로, 가족 $\mathfrak{P}$ 내 모든 확률 측도 하에서 마팅게일이지만, 다른 성분들은 일부 측도 하에서만 초마팅게일 성질을 만족한다.
• 포아송 랜덤 측도에 대한 보정된 적분이 비선형 기대 하에서 $G$-마팅게일임이 증명되어 분해의 타당성을 보장한다.
• 분해는 간단한 과정을 초월하여 근사 및 정지시간 기법을 통해 광범위한 $L^p_G$-적분 가능한 랜덤 변수에 대해 성립한다.
• 균일한 유계성 조건이 확립되었으며, 모든 $\mathbb{P} \in \mathfrak{P}$ 에 대해 $\mathbb{E}^\mathbb{P}[|M^*_T|^2] \leq C_p \|\xi\|_{L^p_G}^2$ 를 만족하며, $C_p$ 는 $\mathbb{P}$ 에 영향을 받지 않는다. 이는 표현의 안정성을 보장한다.
• 증명은 $M_{\tau_\lambda} = \sup_j \mathbb{E}^{\mathbb{P}_j}[\xi|\mathcal{F}_{\tau_\lambda}]$ $\mathbb{P}$-거의 확실히 성립하는 수열 $\{\mathbb{P}_j\}$ 의 존재성에 기반하며, 이는 본질적 상한과 $\hat{\mathbb{P}}^n$ 을 통한 측도 재가중 기법을 가능하게 한다.