[논문 리뷰] Itô calculus and jump diffusions for $G$-Lévy processes

Krzysztof Paczka|arXiv (Cornell University)|2012. 11. 13.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 14인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 유한한 활동도를 갖는 $G$-Lévy 과정을 위한 Itô 미적분 체계를 수립하며, Itô-Lévy 적분을 도입하고, Itô 공식을 유도하며, 그러한 과정에 의해 구동되는 SDE, BSDE, FBSDE를 개발한다. 주요 기여는 하위선형 기대를 가족의 확률 측도 위에서의 최대값으로 표현하고, $L^p_G(\Omega)$의 준연속성 특성화를 통해 모델 불확실성 하에서의 확률 미적분을 가능하게 한다.

ABSTRACT

The paper considers the integration theory for $G$-Lévy processes with finite activity. We introduce the Itô-Lévy integrals, give the Itô formula for them and establish SDE's, BSDE's and decoupled FBSDE's driven by $G$-Lévy processes. In order to develop such a theory, we prove two key results: the representation of the sublinear expectation associated with a $G$-Lévy process and a characterization of random variables in $L^p_G(Ω)$ in terms of their quasi-continuity.

연구 동기 및 목표

• 유한한 점프 활동도를 갖는 $G$-Lévy 과정을 위한 확률적 적분 이론을 개발하기 위해.
• Itô 미적분을 $G$-Lévy 과정에 의해 구동되는 점프 디퓨전까지 확장하기 위해.
• 하위선형 기대 하에서 정방향 및 역방향 확률미분방정식(SDE, BSDE, FBSDE)을 수립하기 위해.
• G-기대를 가족의 확률 측도 위에서의 최대값으로 표현하기 위해.
• 모델 불확실성 하에서의 랜덤 변수 분석을 가능하게 하기 위해 $L^1_G(\Omega)$ 공간을 준연속성 특성으로 기술하기 위해.

제안 방법

• 순수한 점프를 갖는 $G$-Lévy 과정의 점프 측도에 대한 Itô-Lévy 적분을 도입한다.
• 생성자 $G_X$의 Lévy-Khintchine 표현을 사용하여 일반적인 $G$-Itô-Lévy 과정에 대한 Itô 공식을 도출한다.
• 하위선형 기대 하에서 $G$-Lévy 과정에 의해 구동되는 정방향 및 역방향 SDE(SDE, BSDE, FBSDE)를 수립한다.
• 하위선형 기대 $\mathbb{E}$를 $\mathcal{P}$에 속한 확률 측도들의 평균 기대값의 최대값으로 표현하는 것을 증명한다: $\sup_{\mathbb{P} \in \mathcal{P}} \mathbb{E}^\mathbb{P}[\cdot]$, 여기서 $\mathcal{P}$는 제어된 과정에 의해 구동되는 확률적 적분의 법칙들로 구성된다.
• $L^p_G(\Omega)$의 원소들을 준연속성 특성으로 기술하여 비선형 기대 이론으로의 확장을 가능하게 한다.
• 확률적 적분의 법칙으로서 $\mathcal{P}$의 표현을 사용하여 관련 통합-미분방정식(integro-PDEs)의 점성해의 존재성과 유일성을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 하위선형 기대 하에서 유한한 점프 활동도를 갖는 $G$-Lévy 과정을 위한 일관된 Itô 미적분 이론을 개발할 수 있는가?
• RQ2 가장 정확한 형태로, $G$-Lévy 과정과 관련된 하위선형 기대는 어떤 가족의 확률 측도로 표현될 수 있는가?
• RQ3 $L^1_G(\Omega)$ 공간은 랜덤 변수의 준연속성 성질을 통해 어떻게 기술될 수 있는가?
• RQ4 점프를 포함하는 $G$-Itô-Lévy 과정에 대한 Itô 공식의 형태는 어떠한가?
• RQ5 모델 불확실성 하에서 $G$-Lévy 과정에 의해 구동되는 SDE, BSDE, FBSDE는 어떻게 행동하는가?

주요 결과

• G-Lévy 과정과 관련된 하위선형 기대는 제어된 과정에 의해 구동되는 확률적 적분의 법칙으로 구성된 가족 위에서의 최대값으로 표현된다.
• $L^1_G(\Omega)$ 공간은 랜덤 변수의 준연속성으로 완전히 기술되며, 이는 고전적인 $L^p$ 이론을 비선형 설정으로까지 확장한다.
• 모델 불확실성 하에서 확산 및 점프 성분을 모두 포함하는 일반적인 $G$-Itô-Lévy 과정에 대해 Itô 공식이 수립된다.
• G-Lévy 과정에 의해 구동되는 SDE, BSDE 및 분리된 FBSDE는 엄밀하게 수식화되었으며, 적절한 조건 하에서 해가 존재함을 보였다.
• 관련된 경로 의존 PDE의 가치 함수는 점성해임을 증명하였고, 비교 원리에 의해 유일성이 확립되었다.
• 이 논문은 변동성과 점프 불확실성 하에서의 확률 미적분에 대한 엄밀한 기초를 제공하며, 금융 모델링 및 확률적 제어 분야의 응용을 가능하게 한다.