[논문 리뷰] Galois equivariance of critical values of $L$-functions for unitary groups

Lucio Guerberoff, Jie Lin|arXiv (Cornell University)|2016. 12. 30.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 20인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 unitary 군 위의 cohomological automorphic representation에 대한 $L$-함수의 임계값과 holomorphic automorphic form의 Petersson norm을 연결하는 공식의 Galois--equivariant한 보완을 수립한다. 이중화 방법에 Galois 작용을 통합하고, 아르키메데스 성분의 zeta 적분 및 CM 주기들을 분석함으로써, 이러한 특수값들이 Galois 코너전에 대해 대수적 인수를 제외하고 불변임을 증명하며, Deligne의 임계값에 대한 추측과의 호환성을 확인한다.

ABSTRACT

The goal of this paper is to provide a refinement of a formula proved by the first author which expresses some critical values of automorphic $L$-functions on unitary groups as Petersson norms of automorphic forms. Here we provide a Galois equivariant version of the formula. We also give some applications to special values of automorphic representations of $\GL_{n} imes\GL_{1}$. We show that our results are compatible with Deligne's conjecture.

연구 동기 및 목표

• 임계 $L$-값을 automorphic form의 Petersson norm으로 표현하는 기존 공식을 Galois-equivariant하게 보완하기.
• $\operatorname{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})$ 작용이 이중화 방법에서 유도되는 zeta 적분에 미치는 영향 분석하기.
• 보조 Hecke 특성함수를 통합하고, 특수값이 Galois 코너전에 대해 정확히 변환됨을 증명하기.
• 보완된 공식이 모티프의 임계값에 대한 Deligne의 추측과 호환되는지 확인하기.

제안 방법

• 이중화 방법을 사용하여 $L$-함수를 Eisenstein 시리즈와 automorphic form을 포함하는 zeta 적분과 연결하기.
• 아르키메데스 성분의 zeta 적분 $Z_\infty(m;\pi,\psi,\alpha)$를 분석하여, 이가 $F^{\operatorname{Gal}}$에 속하지만 Galois-equivariant 공식에 반드시 포함되어야 함을 보여주기.
• Galois-equivariant하게 변환되는 $\pi \otimes \psi$ 내의 산술 벡터의 역 Petersson norm으로 수정된 주기 $Q(\pi,\psi)$ 도입하기.
• 일반선형군 $\operatorname{GL}_n$ 위의 표현과 unitary 군 위의 표현을 연결하기 위해, $\mathbb{Q}^\times$를 제외한 정의로 주어진 Artin 모티프 주기 $\delta[\varepsilon_F]$를 통합하며, 이는 $F^{\operatorname{Gal}}$에 속하고 Galois 구조에 기여함.
• 비분기 국소 표현에 대해 Galois 코너전과 base change의 가환성을 확립하고, 이를 전반적인 automorphic representation으로 확장하기.
• 국소 및 전반적 base change 호환성을 이용하여 unitary 군 위의 표현들을 $\operatorname{GL}_n$ 위의 표현들과 연결하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 임계 $L$-값을 Petersson norm으로 표현하는 공식을 어떻게 Galois-equivariant하게 만들 수 있는가?
• RQ2 Galois 코너전에 대해 아르키메데스 성분의 zeta 적분이 어떻게 행동하는가? 특수값 공식에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 CM 주기와 2차 주기들이 Galois 작용에 대해 어떻게 변환되며, 이를 Galois-불변 표현식으로 조합할 수 있는가?
• RQ4 보완된 임계 $L$-값 공식이 모티프의 임계값에 대한 Deligne의 추측을 충족하는가?
• RQ5 Galois 코너전된 automorphic representation의 base change는 해당 base change의 Galois 코너전과 동형인가?

주요 결과

• 임계 $L$-값 $L^S(m - \frac{n-1}{2}, \pi \otimes \psi, \operatorname{St})$ 는 $E(\pi, \psi)$ 내의 원소로 곱해진 $Q(\pi, \psi)$의 역 Petersson norm과 Galois-equivariant하게 관련되며, $E(\pi, \psi) \otimes F^{\operatorname{Gal}}$ 가 아닌 $E(\pi, \psi)$ 내의 원소로 곱해진다.
• 아르키메데스 성분의 zeta 적분 $Z_\infty(m;\pi,\psi,\alpha)$ 는 $F^{\operatorname{Gal}}$에 속하지만 Galois-equivariant 공식에 필수적이며 무시할 수 없다.
• 2차 확장 $F/F^+$에 관련된 주기 $\delta[\varepsilon_F]$ 는 $\mathbb{Q}^\times$를 제외하고 Galois-불변이며 특수값 공식에 기여한다.
• 공식은 Deligne의 추측과 호환된다: 임계값들은 $E(\pi, \psi)$ 내에 있으며, $2\pi i$의 거듭제곱을 제외하고 대수적이다.
• Galois 코너전된 automorphic representation $^\sigma\pi$ 의 base change 는 $\pi$ 의 base change 의 Galois 코너전과 동형이다. 즉, $BC(^\sigma\pi) \cong {}^\sigma(BC(\pi))$.
• 보완된 공식은 임계 $L$-값을 $\sim_{E(\pi,\psi)} (2\pi i)^{[F^+ among others, Galois 작용이 이제는 대수적 인수에 완전히 반영된 상태로 표현된다.