[논문 리뷰] Galois objects and cocycle twisting for locally compact quantum groups

Kenny De Commer|arXiv (Cornell University)|2008. 04. 15.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 40인용 수 17

한 줄 요약

이 논문은 국소적으로 컴act한 양자군 $(M, \Delta)$ 에 대해 갈루아 객체 $(N, \alpha)$ 로부터 이중 국소적으로 컴팩트한 양자군 $(\widehat{P}, \Delta_{\widehat{P}})$ 의 존재성을 확립하며, 이 구조가 불변 가중치를 지닌 잘 정의된 양자군을 이룬다는 것을 증명한다. 주요 기여는 국소적으로 컴팩트한 양자군의 임의의 유니터리 2-코사이클 트위스트가 다른 국소적으로 컴팩트한 양자군을 유도한다는 것을 보여주는 것으로, 이는 대수적 코사이클 트위스트를 C*-대수의 설정에서 von Neumann 대수 설정으로 일반화한다.

ABSTRACT

In this article, we investigate the notion of a Galois object for a locally compact quantum group M. Such an object consists of a von Neumann algebra N equipped with an ergodic integrable coaction of M on N, such that the crossed product is a type I factor. We show how to construct from such a coaction a new locally compact quantum group P, which we call the reflection of M along N. By way of application, we prove the following statement: any twisting of a locally compact quantum group by a unitary 2-cocycle is again a locally compact quantum group.

연구 동기 및 목표

• 국소적으로 컴팩트한 양자군에 대해 갈루아 객체 이론을 대수적 양자군에서 von Neumann 대수 설정으로 확장한다.
• 예외적인 가중치를 보장하는 국소적으로 컴팩트한 이중 양자군 $\widehat{P}$ 를 갈루아 객체 $(N, \alpha)$ 에서 구성한다.
• 임의의 유니터리 2-코사이클 트위스트가 국소적으로 컴팩트한 양자군이면 다른 국소적으로 컴팩트한 양자군을 유도함을 증명한다.
• 분리 가능 예비 dual 을 지닌 Galois 객체의 동형류와 $B(\mathscr{H})$ 에서의 외부 동치류의 간의 대응관계를 설정한다.

제안 방법

• 갈루아 객체를 von Neumann 대수 $N$ 과 그 위에 정의된 에르고딕하고 적분 가능한 코작용 $\alpha: N \to N \otimes M$ 으로 정의하며, 이때 교차곱이 유형 I 인피액터가 되도록 한다.
• 갈루아 객체의 연결 대수를 통해 이중 양자군 $\widehat{P}$ 를 구성하며, $\mathscr{L}^2(N)$ 에서의 코어프레젠테이션 $\mathcal{G}$ 를 사용한다.
• 갈루아 사상의 구조와 그 $\mathscr{L}^2$-공간에서의 유니터리성에 기반해 $\widehat{P}$ 에서의 불변 가중치 존재성을 증명한다.
• 트위스트된 대수를 갈루아 객체로 간주함으로써, $\widehat{\Delta}_\Omega = \Omega \widehat{\Delta}(\cdot) \Omega^*$ 가 양자군 구조를 유지함을 보인다.
• 유니터리 인터티너 $v$ 가 유도하는 갈루아 객체 간의 동형관계를 이용해, 외부 동치인 코작용과 동형 갈루아 객체를 연결한다.
• Ehresmann 유형의 구성 방식을 활용해 코작용을 이중화하고 반사된 양자군 구조를 복원한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 국소적으로 컴팩트한 양자군에 대해 갈루아 객체를 사용하여 불변 가중치를 지닌 새로운 이중 국소적으로 컴팩트한 양자군을 구성할 수 있는가?
• RQ2 국소적으로 컴팩트한 양자군의 임의의 유니터리 2-코사이클 트위스트가 다른 국소적으로 컴팩트한 양자군을 유도하는가?
• RQ3 분리 가능 예비 dual 을 지닌 Galois 객체의 동형류와 $B(\mathscr{H})$ 에서의 코작용의 외부 동치류 사이에 일대일 대응이 존재하는가?
• RQ4 갈루아 객체의 코어프레젠테이션은 이중 양자군의 구조와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ5 갈루아 사상이 $\mathscr{L}^2$-공간에서 유니터리이고 코작용이 적분 가능함을 보장하는 데 있어 역할은 무엇인가?

주요 결과

• 갈루아 객체 $(N, \alpha)$ 로부터 이중 국소적으로 컴팩트한 양자군 $\widehat{P}$ 를 구성하는 것은 가능하며, 이는 불변 가중치를 지니므로 잘 정의된 양자군임을 보장한다.
• 임의의 유니터리 2-코사이클 트위스트 $\widehat{\Delta}_\Omega = \Omega \widehat{\Delta}(\cdot) \Omega^*$ 는 국소적으로 컴팩트한 양자군을 다른 국소적으로 컴팩트한 양자군으로 유도한다.
• 코사이클 트위스트와 관련된 갈루아 객체는 트위스트된 컨볼루션 대수 $\widehat{M} \underset{\Omega}{\ltimes} \mathbb{C}$ 와 그 이중 코작용과 동형이다.
• 분리 가능 예비 dual 을 지닌 $(M, \Delta)$ 에 대한 오른쪽 갈루아 객체의 동형류와 $(\widehat{M}, \widehat{\Delta})$ 가 $B(\mathscr{H})$ 에서 작용하는 코작용의 외부 동치류 사이에 자연스러운 일대일 대응이 존재한다.
• 동형 갈루아 객체는 유니터리 인터티너 $v$ 를 통해 관련된 코작용을 나타내며, 이는 코사이클 조건을 만족하고 외부 동치를 실현한다.
• 갈루아 객체의 코어프레젠테이션 $\mathcal{G}$ 는 연결 대수 간의 코멀티플리케이션을 보존하는 동형을 유도하며, 이는 이중 양자군 구조가 유지됨을 보장한다.