[논문 리뷰] Galois representations attached to abelian varieties of CM type

Davide Lombardo|arXiv (Cornell University)|2015. 06. 15.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 12인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 수체 K 위의 절대적으로 단순한 CM 유형의 아벨 다양체 A에 대해, Serre와 Ribet의 渐近 결과를 개선하여 분할체 $K(A[\rho^n])$의 차수에 대해 명시적이고 효과적인 경계를 제공한다. CM 체, 클래스 수, Mumford-Tate 군의 랭크에 따라 $[K(A[\rho^n]):K]$에 대한 날카로운 경계를 수립하며, 특히 CM 유형이 비퇴화일 경우에 강력하며, 타원곡선의 경우 갈루아 군을 완전히 기술한다.

ABSTRACT

Let $K$ be a number field, $A/K$ be an absolutely simple abelian variety of CM type, and $\ell$ be a prime number. We give explicit bounds on the degree over $K$ of the division fields $K(A[\ell^n])$, and when $A$ is an elliptic curve we also describe the full Galois group of $K(A_{ ext{tors}})/K$. This makes explicit previous results of Serre and Ribet, and strengthens a theorem of Banaszak, Gajda and Krasoń. Our bounds are especially sharp in case the CM type of $A$ is nondegenerate.

연구 동기 및 목표

• 절대적으로 단순한 CM 유형의 아벨 다양체에 대해 분할체의 차수 $[K(A[\rho^n]):K]$에 대한 명시적이고 효과적인 경계를 제공하는 것.
• Serre와 Ribet의 $[K(A[\rho^n]):K]$의 증가 추세에 대한 渐近 경계를 개선하고 명시적으로 명시하는 것.
• A가 타원곡선일 경우 갈루아 군 $\operatorname{Gal}(K(A_{\text{tors}})/K)$를 완전히 기술하는 것.
• Banaszak, Gajda, Krasoń의 이전 결과를 개선하여 경계에 효과적인 상수를 제공하는 것.

제안 방법

• Galois 이미지 $G_{\rho^n}$를 분석하기 위해 기준 대수적 군으로서의 Mumford-Tate 군 $\operatorname{MT}(A)$를 사용하는 것.
• 문제를 $[\operatorname{MT}(A)(\mathbb{Z}_\rho) : G_{\rho^\infty}]$의 인덱스와 $\operatorname{MT}(A)(\mathbb{Z}/\rho^n\mathbb{Z})$의 크기 추정으로 환원하는 것.
• 반분해되지 않은 $\rho$와 비퇴화 CM 유형에 대해 반사체와 노름 사상으로 $\operatorname{MT}(A)(\mathbb{Z}/\rho^n\mathbb{Z})$를 명시적으로 계산하는 것.
• Ono의 대수적 군의 $\mathbb{Z}_\rho$-점 이론을 적용하여 $\operatorname{MT}(A)(\mathbb{Z}_\rho)$를 정의하는 것.
• Mumford-Tate 추측(이미 CM 다양체에서 알려져 있음)을 사용하여 $G_{\rho^\infty}$를 $\operatorname{MT}(A)(\mathbb{Z}_\rho)$의 유한지수 부분군으로 식별하는 것.
• 경계의 날카로움을 시험하고 입증하기 위해 명시적인 가족(예: $y^p = x(1-x)$의 리만 곡선)을 구성하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비점근적 추정에 의존하지 않고, CM 유형의 아벨 다양체에 대해 $[K(A[\rho^n]):K]$에 대한 효과적이고 명시적인 경계는 무엇인가?
• RQ2 A가 CM 유형의 타원곡선일 경우 갈루아 군 $\operatorname{Gal}(K(A_{\text{tors}})/K)$는 어떻게 생겼는가?
• RQ3 $[\operatorname{MT}(A)(\mathbb{Z}_\rho) : G_{\rho^\infty}]$는 K와 E의 불변량에 대해 효과적으로 유계일 수 있는가?
• RQ4 비퇴화 CM 유형일 경우 경계는 얼마나 날카로운가? 이를 명시적 예시를 통해 입증할 수 있는가?
• RQ5 A의 차원에 대한 함수로서 $\ell^{n \cdot \operatorname{rank} \operatorname{MT}(A)} / [K(A[\ell^n]):K]$의 증가율은 어떻게 되는가?

주요 결과

• 분해되지 않은 $\ell > \sqrt{2 \cdot g!}$에 대해 $K \cdot E$에서, 차수는 $\frac{1}{4\mu\sqrt{g!}} \cdot \ell^{nr} \leq [K(A[\ell^n]):K] \leq \frac{5}{2}\mu \cdot h(K) \cdot \ell^{nr}$를 만족하며, 여기서 $\mu$는 $E$에 있는 원주율의 수이고 $h(K)$는 $K$의 클래스 수이다.
• A가 타원곡선일 경우, 갈루아 군 $\operatorname{Gal}(K(A_{\text{tors}})/K)$는 $\prod_{\ell} \mathcal{O}_E \otimes \mathbb{Z}_\ell^\times$의 부분군으로 명시적으로 기술되며, 이 군의 지수는 $3[K:\mathbb{Q}]$로 나누어지며, 이는 경계에서 상수 3의 날카로움을 보여준다.
• 비퇴화 CM 유형을 가진 아벨 표면($g=2$)에 대해, $G_{\ell^\infty} \cap \operatorname{MT}(A)(\mathbb{Z}_\ell)$와 $\operatorname{MT}(A)(\mathbb{Z}_\ell)$ 사이의 인덱스는 $[K:E^*]$ 이하이며, 이는 $[K(A[\ell^n]):K]$에 대한 명시적 하한을 이끌어낸다.
• 가족인 $y^p = x(1-x)$의 리만 곡선의 아벨 다양체를 통해, $\ell^{n \cdot \operatorname{rank} \operatorname{MT}(A)} / [K(A[\ell^n]):K]$는 A의 차원에 대해 지수적으로 증가함을 입증하였으며, 이 비율은 $\ell=2$, $n=1$, $\dim A = (p-1)/2$일 때 $2^{(p+1)/2}/p$이다.
• 분해되지 않은 $\ell$에 대해 $\dim A = 2$일 경우, $[K(A[\ell^n]):K] \geq (1 - 1/\ell)^3 \ell^{3n}$이 성립하며, 이는 주항항에서의 최적성(optimality)을 보여준다.
• $y^p = x(1-x)$의 리만 곡선의 아벨 다양체 $J(p)$의 예시는 $[K(A[2^n]):K]$에 대한 하한 경계 상수의 날카로움을 보여주며, $[K(J(p)[2]):K] = p$이고, $\ell^{n \cdot \operatorname{rank} \operatorname{MT}(A)} / [K(A[\ell^n]):K] = 2^{(p+1)/2}/p$임을 확인함으로써, 차원에 따른 지수적 증가를 확인한다.