[논문 리뷰] Galois self-dual cuspidal types and Asai local factors

U. K. Anandavardhanan, Robert Kurinczuk외 3명|arXiv (Cornell University)|2018. 07. 20.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 46인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 $\ceil$-자기 dual인 $\ceil_n(\ceil)$의 커피드랄 표현 $\pi$에 대한 Asai L함수에 대해 명시적인 적분 표현을 수립하며, 이는 단일 Asai 적분과 명시적인 테스트 벡터를 통해 나타남을 증명한다. 또한 $\pi$가 $\ceil_n(\ceil_o)$-구분된 경우 Asai 루트 번호가 1임을 계산하고, 국소적 Asai $\varepsilon$-인자와 Langlands–Shahidi $\varepsilon$-인자가 중심 문자 및 국소 상수를 포함한 명시적 인자들에 의해 차이가 나는 것을 제외하고 일치함을 증명한다.

ABSTRACT

Let $F/F_{\mathsf{o}}$ be a quadratic extension of non-archimedean locally compact fields of odd residual characteristic and $σ$ be its non-trivial automorphism. We show that any $σ$-self-dual cuspidal representation of ${ m GL}_n(F)$ contains a $σ$-self-dual Bushnell--Kutzko type. Using such a type, we construct an explicit test vector for Flicker's local Asai $L$-function of a ${ m GL}_n(F_{\mathsf{o}})$-distinguished cuspidal representation and compute the associated Asai root number. Finally, by using global methods, we compare this root number to Langlands--Shahidi's local Asai root number, and more generally we compare the corresponding epsilon factors for any cuspidal representation.

연구 동기 및 목표

• Flicker의 국소적 Asai L함수에 대한 $\rceil$-자기 dual 커피드랄 표현에 대한 명시적 테스트 벡터를 구성하는 것.
• 특히 $\rceil_n(\rceil_o)$-구분된 경우에 해당 표현에 대한 Asai 루트 번호를 계산하는 것.
• 커피드랄 표현에 대해 Flicker의 Asai $\varepsilon$-인자와 Langlands–Shahidi $\varepsilon$-인자를 비교하는 것.
• 구분된 커피드랄 표현의 Asai L함수가 표준적인 테스트 벡터를 가진 단일 Asai 적분을 통해 실현됨을 확립하는 것.

제안 방법

• Bushnell–Kutzko 유형 이론을 사용하여 $\rceil_n(\rceil)$의 $\rceil$-자기 dual 커피드랄 표현에 대해 $\rceil$-자기 dual 유형을 구성하는 것.
• $\pi$의 윌러링 모델에서 명시적인 월러링 함수 ${\rceil}_0$을 구성하여, $Ο_o^n$의 특성 함수와의 Asai 적분이 Asai L함수를 주는 것.
• Flicker의 Asai $\varepsilon$-인자와 Langlands–Shahidi $\varepsilon$-인자를 비교하기 위해 글로벌 방법을 적용하는 것.
• 유도된 표현 이론과 상호작용 연산자 이론을 통한 쌍대성 추론을 통해 Asai 인자와 Langlands–Shahidi 인자를 연결하는 것.
• 유형 이론과 방정식 유도의 구조를 활용하여 ${\rceil}^\sigma$-불변 선형 형식의 공간을 분석하는 것.
• 국소적 Asai 인자가 Asai L함수의 함수방정식과 호환됨을 검증하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 $\rceil$-자기 dual 커피드랄 표현 $\pi$는 $\rceil_n(\rceil)$에서 $\rceil$-자기 dual Bushnell–Kutzko 유형을 갖는가?
• RQ2 명시적인 테스트 벡터를 가진 단일 Asai 적분을 통해 $\rceil$-자기 dual 커피드랄 표현의 Asai L함수를 실현할 수 있는가?
• RQ3 표현이 $\rceil_n(\rceil_o)$-구분된 경우 Asai 루트 번호의 값은 무엇인가?
• RQ4 커피드랄 표현에 대해 Flicker의 Asai $\varepsilon$-인자와 Langlands–Shahidi $\varepsilon$-인자는 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ5 구분된 커피드랄 표현의 Asai L함수는 비퇴화 성분의 선택에 관계없이 불변인가?

주요 결과

• 표현 $\pi$에 대한 Asai L함수는 단일 Asai 적분으로 실현된다: $\operatorname{I}_{\rm As}(s,\Phi_0,{\rceil}_0)={\rceil}_{{\rm As}}(s,\pi)$, 여기서 $\Phi_0$는 $\u039f_o^n$의 특성 함수이다.
• 표현 $\pi$가 $\rceil_n(\rceil_o)$-구분된 경우, Asai 루트 번호는 $\epsilon_{{\rm As}}(1/2,\pi,\psi_o,\delta)=1$를 만족하며, 이는 추측을 확인한다.
• Flicker의 Asai $\varepsilon$-인자는 다음 식으로 Langlands–Shahidi 인자와 관련된다: $\epsilon_{{\rm As}}(s,\pi,\psi_o,\delta)=\omega_\pi(\delta)^{n-1}\cdot|\delta|^{\frac{n(n-1)}{2}(s-1/2)}\cdot\lambda({\rceil}/{\rceil_o},\psi_o)^{-\frac{n(n-1)}{2}}\cdot\epsilon_{{\rm As}}^{{\rm LS}}(s,\pi,\psi_o)$.
• ${\rceil}^\sigma$-불변 선형 형식의 공간은 차원 1이며, 표현이 구분된 경우 $\rceil_n(\rceil_o)$-불변 형식의 공간과 일치한다.
• Asai L함수가 비자명한 것은 표현이 구분된 비완비 조건을 갖는 경우에 국한된다.
• 테스트 벡터 ${\rceil}_0$의 구성은 표준적이며 비퇴화 성분 $\psi$의 선택과 무관하다.