[논문 리뷰] Gamma Tilting Calculus for GGC and Dirichlet means with applications to Linnik processes and Occupation Time Laws for Randomly Skewed Bessel Processes and Bridges

Lancelot F. James|ArXiv.org|2006. 10. 06.

Bayesian Methods and Mixture Models참고 문헌 26인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 일반화된 감마 복합분포(GGC)와 딜레트의 과정 평균 함수에 대한 감마 기울임 미적분(calculus)을 개발하며, 양의 린니크 분포와 무작위로 기울인 베셀 과정 및 다리의 점유 시간 사이의 분포적 동치성을 확립한다. 주요 기여는 p-기울인 베셀 과정의 점유 시간이 비자명한 무작위로 기울인 과정의 점유 시간과 분포적으로 동치임을 증명한 것으로, 이는 안정적 보조자와 GGC 보조자를 통한 명시적 밀도 공식과 항등식을 도출한다.

ABSTRACT

This paper develops some general calculus for GGC and Dirichlet process means functionals. It then proceeds via an investigation of positive Linnik random variables, and more generally random variables derived from compositions of a stable subordinator with GGC subordinators, to establish various distributional equivalences between these models and phenomena connected to local times and occupation times of what are defined as randomly skewed Bessel processes and bridges. This yields a host of interesting identities and explicit density formula for these models. Randomly skewed Bessel processes and bridges may be seen as a randomization of their p-skewed counterparts developed in Barlow, Pitman and Yor (1989) and Pitman and Yor (1997), and are shown to naturally arise via exponential tilting. As a special result it is shown that the occupation time of a p-skewed random Bessel process or (generalized) bridge is equivalent in distribution to the occupation time of a non-trivial randomly skewed process.

연구 동기 및 목표

• GGC와 딜레트 과정 평균 함수에 대한 일반적인 미적분을 개발함. 특히 감마 기울임과 스케일링 연산을 통해.
• 안정적 보조자와 GGC 보조자를 사용하여 양의 린니크 랜덤 변수에 대한 새로운 분포적 항등식을 확립함.
• 지수 기울임을 통해 국소 시간과 점유 시간을 p-기울인 베셀 과정과 다리의 무작위로 기울인 과정의 새로운 클래스와 연결함.
• 기울인 베셀 과정과 다리의 점유 시간 법칙에 대한 명시적 밀도 공식과 분포적 동치성을 유도함.
• p-기울인 베셀 과정의 점유 시간이 비자명한 무작위로 기울인 과정의 점유 시간과 분포적으로 동치임을 보임.

제안 방법

• 디렉레의 과정 평균 함수와 GGC 랜덤 변수에 대한 감마 기울임 미적분을 개발하며, 라플라스 변환과 토린 측도를 사용함.
• GGC 변수를 감마 과정의 선형 함수로 표현하여 이를 딜레트 과정 평균과 연결함.
• 지수 기울임을 적용하여 무작위로 기울인 베셀 과정과 다리를 정의하며, GGC 법칙을 가진 보조자로부터 자연스럽게 유도됨을 보임.
• 독립 동일분포인 $ \alpha $-안정 랜덤 변수에 대해 $ X_{\alpha} = S_{\alpha}/S'_{\alpha} $ 라는 항등식을 사용하여 $ X_{\alpha} $ 가 딜레트 평균 함수 기능임을 보임.
• 안정적 보조자와 GGC 보조자의 성질을 활용하여 일반화된 딜레트 평균 함수 기능에 대한 스케일링 및 변환 법칙을 도출함.
• 피트만과 요르(Pitman and Yor, 1992, 1997)의 국소 시간과 점유 시간에 관한 결과를 적용하여 기울인 베셀 다리에 대한 분포적 항등식을 확립함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 감마 기울임 미적분은 GGC와 딜레트 과정 평균 함수를 어떻게 베셀 과정의 점유 시간과 연결할 수 있는가?
• RQ2 양의 린니크 법칙과 p-기울인 또는 무작위로 기울인 베셀 과정의 점유 시간 사이에 어떤 분포적 동치성이 존재하는가?
• RQ3 안정적 보조자와 GGC 보조자의 복합은 어떻게 새로운 유형의 무작위로 기울인 베셀 과정과 다리를 도출하는가?
• RQ4 p-기울인 베셀 과정의 점유 시간은 비자명한 무작위로 기울인 과정의 점유 시간으로 표현될 수 있는가?
• RQ5 GGC 보조자, 안정적 보조자, 국소 시간 함수 기능 간의 상호작용에서 도출되는 명시적 밀도 공식은 무엇인가?

주요 결과

• p-기울인 베셀 과정 또는 다리의 점유 시간은 비자명한 무작위로 기울인 베셀 과정의 점유 시간과 분포적으로 동치이다.
• 감마 기울임과 GGC 보조자 복합을 통해 무작위로 기울인 베셀 과정과 다리의 명시적 밀도 공식이 도출된다.
• 랜덤 변수 $ X_{\alpha} = S_{\alpha}/S'_{\alpha} $ 는 $ S_{\alpha} $ 와 $ S'_{\alpha} $ 가 독립 동일분포인 $ \alpha $-안정 랜덤 변수일 때 딜레트 평균 함수 기능임을 보였다.
• $ 0 < \beta < 1 $ 일 때, 항등식 $ M_{\alpha\theta}(\varrho_{\alpha\beta}) \overset{d}{=} M_{\alpha\theta}(\varrho_{\alpha})[M_{\theta}(\varrho_{\beta})]^{1/\alpha} $ 가 성립하며, 이는 기울인 베셀 다리의 스케일링된 국소 시간을 연결한다.
• 시간 동안 양의 값을 가진 차원 $ 2-2\beta $ 의 베셀 다리에 의해 무작위로 기울인 $ B^{(\alpha,1/2)}_{\alpha}(t) $ 는 표준 브라운 다리와 동일한 점유 시간 분포를 가진다.
• 항등식 $ A^{(\alpha,\alpha\theta)}_{\alpha,\xi_{\theta}} \overset{d}{=} A^{(\alpha\beta,\alpha\theta)}_{\alpha\beta,p} $ 는 $ \xi $-기울인 다리로부터 적절한 무작위 스케일링을 통해 p-기울인 베셀 다리를 복원할 수 있음을 확인한다.