[논문 리뷰] Gauge/Bethe correspondence on $S^1 imes Σ_h$ and index over moduli space

Satoshi Okuda, Yutaka Yoshida|arXiv (Cornell University)|2015. 01. 14.

Black Holes and Theoretical Physics참고 문헌 11인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 $S^1 \times \Sigma_h$ 위에서 게이지/베테 상호관계를 수립하여, 비틀린 초전도체-물질 이론의 분할 함수가 일반화된 $G/G$ 게이지화된 WZW-물질 모델의 분할 함수와 일치함을 보여, $q$-보존 이동 모델과 통합하여 양자 양자역학적 구조를 드러내고, 평탄한 연결의 모듈리 공간 위에서 기하적 인덱스로 분할 함수를 해석한다. 게이지 이론 내의 윌슨 루프 상관 함수는 정확히 WZW-물질 모델 내의 $G$-군 원소의 상관 함수와 일치한다.

ABSTRACT

We introduce two-types of topologically twisted Chern-Simons-matter theories on the direct product of circle and genus-h Riemann surface (S^1 imes Σ_h). The partition functions of first model agrees with the partition functions of a generalizations of G/G gauged WZW model. We also find that correlation functions of Wilson loops in first type Chern-Simons-matter theory coincide with correlation functions of G elements in the generalization of G/G gauged WZW model. The partition function of this model also has nice interpretations as norms of eigen states of Hamiltonian in the quantum integrable model (q-boson hopping model) and also as a geometric index over a particular moduli space. In the second-type Chern-Simons-matter theory, the partition function is related to integration over moduli space of Hitchin equation on Riemann surface.

연구 동기 및 목표

• twisted Chern-Simons-matter 이론이 $S^1 \times \Sigma_h$ 위에 존재할 때, $\Sigma_h$ 위의 일반화된 $G/G$ 게이지화된 WZW-물질 모델과의 상호관계를 수립하기.
• 초전도체-물질 이론의 분할 함수가 $q$-보존 이동 모델로부터 유래된 양자 양자역학적 구조를 상속함을 보여주기.
• 분할 함수를 $SU(2)$의 평탄한 $G$-연결의 모듈리 공간 위에서 기하적 인덱스로 해석하기.
• 두 번째 모델의 분할 함수의 물리적 및 수학적 의미를 명확히 하여, 히친 모듈리 공간과 연관시키기.
• 순수 초전도체 이론을 넘어서 물질과 일반화된 WZW 모델을 포함하는 게이지/베테 상호관계를 확장하기.

제안 방법

• 2차원에서의 A-틀리기의 $S^1$-업리프트를 통해 $S^1 \times \Sigma_h$ 위에서 두 종류의 위상적 비틀림 초전도체-물질 이론을 구성하기.
• 경로 적분 국소화를 이용하여 게이지, 고스트, 물질 장의 함수행렬 행렬식 비율을 계산함으로써 모델 1의 분할 함수를 평가하기.
• 포아송 재합성과 부분 적분을 사용하여 호로니 변수 $\varphi$에 대한 제약 조건을 유도하고, 초월 방정식의 해에 대한 합으로 이어지게 하기.
• 분할 함수를 양자 양자역학적 시스템에서 해밀토니안의 고유상태 노름으로 식별함으로써, 분할 함수를 $q$-보존 모델과 연결하기.
• 분할 함수를 베테 앙사츠 유형의 방정식의 해에 대한 합으로 표현하여, $q$-보존 모델의 스펙트럼과 연결하기.
• 특히 $SU(2)$의 경우, 분할 함수가 명시적 계산과 매개변수 재정의($u = e^{2\pi i\varphi}, t = e^{-2\pi m}$)를 통해 평탄한 $SU(2)$-연결의 모듈리 공간 위의 인덱스와 일치함을 보여주기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비틀린 초전도체-물질 이론의 분할 함수가 $S^1 \times \Sigma_h$ 위에서 $\Sigma_h$ 위의 일반화된 $G/G$ 게이지화된 WZW-물질 모델의 분할 함수와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ2 $q$-보존 이동 모델이 초전도체-물질 이론의 분할 함수와 상관 함수를 어떻게 해석하는 데 기여하는가?
• RQ3 초전도체-물질 이론의 분할 함수가 평탄한 $G$-연결의 모듈리 공간 위에서 기하적 인덱스로 해석될 수 있는가?
• RQ4 게이지 이론 내의 윌슨 루프 상관 함수는 WZW-물질 모델 내의 $G$-군 원소의 상관 함수와 어떻게 대응하는가?
• RQ5 두 번째 모델의 분할 함수는 무엇을 의미하는가? 이는 히친 모듈리 공간의 통합과 관련되어 있다.

주요 결과

• 모델 1의 분할 함수는 $S^1 \times \Sigma_h$ 위에서 일반화된 $G/G$ 게이지화된 WZW-물질 모델의 분할 함수와 정확히 일치하며, 한 매개변수로 변형된 모듈러 $S$-행렬의 역수에 대한 $\mu$에 대한 합으로 표현된다: $\mathcal{Z}_{\text{GWZWM}}(\Sigma_h) = \sum_{\mu} \frac{1}{S^{2h-2}_{0\mu}(t)}$.
• 모델 1의 분할 함수는 $q$-보존 이동 모델에서 해밀토니안의 고유상태의 노름으로 식별되어, 게이지 이론과 양자 양자역학성 사이의 직접적인 연결 고리를 확립한다.
• 초전도체-물질 이론 내의 윌슨 루프 상관 함수는 일반화된 $G/G$ WZW-물질 모델 내의 $G$-군 원소의 상관 함수와 정확히 일치한다.
• 특히 $SU(2)$의 경우, 분할 함수는 베테 앙사츠 방정식의 해에 대한 합으로 표현되며, $u^{2k+4}\left[\frac{1 - t u^{-2}}{1 - t u^{2}}\right]^2 = 1$ 형태를 띤다. 이에 따라 분할 함수는 $\mathcal{Z}^{\text{SU(2)}}_{\text{CSM}}(S^1 \times \Sigma_h) = (1 - e^{-2\pi m})^{h-1} \sum_{x \in \mathcal{B}_1} \left[ \cdots \right]^{h-1}$ 로 주어지며, 이는 기하적 인덱스로의 해석을 확인한다.
• 모델 1의 분할 함수는 위상적 양자장이론(TQFT) 불변량으로서, 그리고 양자 양자역학 시스템의 고유값 방정식 해에 대한 합으로서 해석된다.
• 모델 2의 분할 함수는 $\Sigma_h$ 위에서 히친 방정식의 해의 모듈리 공간에 대한 통합과 관련되어 있으나, 그에 상응하는 양자 양자역학 모델은 아직 명확하지 않다.