[논문 리뷰] Gaussian processes, bridges and membranes extracted from selfsimilar random fields

Maik Görgens, Ingemar Kaj|arXiv (Cornell University)|2014. 10. 02.

Financial Risk and Volatility Modeling참고 문헌 16인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 가우시안 화이트 노이즈 또는 무작위 공 화이트 노이즈에 의해 구동되는 샷노이즈 메커니즘을 사용하여 자기유사 가우시안 랜덤 필드의 새로운 구성법을 제안하며, 이는 유한 도메인 위에서 분수 Browian 운동, 다리, 막 등을 명시적으로 추출할 수 있게 한다. 주요 기여는 측도 기반 색인화와 리에즈 변환 확장에 의해 사전에 정해진 자기유사성과 경계 행동을 갖는 가우시안 과정을 생성하는 통합된 프레임워크를 제공하는 것이다.

ABSTRACT

We consider the class of selfsimilar Gaussian generalized random fields introduced by Dobrushin in 1979. These fields are indexed by Schwartz functions on $\mathbb{R}^d$ and parametrized by a self-similarity index and the degree of stationarity of their increments. We show that such Gaussian fields arise in explicit form by letting Gaussian white noise, or Gaussian random balls white noise, drive a shift and scale shot-noise mechanism on $\mathbb{R}^d$, covering both isotropic and anisotropic situations. In some cases these fields allow indexing with a wider class of signed measures, and by using families of signed measures parametrized by the points in euclidean space we are able to extract pointwise defined Gaussian processes, such as fractional Brownian motion on $\mathbb{R}^d$. Developing this method further, we construct Gaussian bridges and Gaussian membranes on a finite domain, which vanish on the boundary of the domain.

연구 동기 및 목표

• R^d 상에서 샷노이즈 메커니즘을 사용하여 자기유사 가우시안 일반화된 랜덤 필드를 일반화하는 방법을 개발한다.
• 서명 측도와 리에즈 변환을 이용하여 이전의 제한을 초월하는 자기유사성 지수 H의 범위를 확장한다.
• 분수 Browian 운동, 다리, 막과 같은 점별 정의된 가우시안 과정을 이러한 필드로부터 추출한다.
• 무작위 공 화이트 노이즈를 사용하여 분수 Browian 운동의 새로운 표현을 제공한다.
• 무작위 공의 하드스티닝을 통해 유한 도메인 D의 경계에서 0이 되는 가우시안 막을 구성한다.

제안 방법

• R^d × R_+ 상에서 가우시안 화이트 노이즈 M_d 또는 무작위 공 화이트 노이즈 W_β에 의해 구동되는 샷노이즈 메커니즘을 통해 자기유사 가우시안 필드를 구성한다.
• t ∈ R^d 에 따라 색인화된 부호 있는 측도 μ_t 를 사용하여 기본 필드 X 로부터 점별 과정 Y_t = X(μ_t) 를 추출한다.
• 리에즈 변환 (−Δ)^{-m/2} 을 적용하여 자기유사성 지수 H 의 범위를 d ≥ 2 에서 H ∉ Z 또는 d = 1 에서 H ∉ ½Z 로 확장한다.
• 경계 ∂D 에 수렴할 때 확률적으로 0이 되는 과정 X_t 로 막을 정의한다.
• D 내에 완전히 포함된 공만 유지하는 방식으로 무작위 공의 하드스티닝을 구현하여 경계에서 0이 되는 막을 얻는다.
• τ(ε)^2 와 관련된 공분산 분석 및 극한 추론을 통해 추출된 과정의 정확한 공분산 함수 형태를 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 H > 0 인 자기유사 가우시안 필드를 일반화된 랜덤 필드에서 샷노이즈 메커니즘을 통해 구성할 수 있는가?
• RQ2 측도 기반 색인화를 통해 자기유사 랜덤 필드에서 R^d 상의 분수 Browian 운동을 어떻게 추출할 수 있는가?
• RQ3 유한 도메인 D 의 경계에서 0이 되는 가우시안 다리와 막의 구조는 어떻게 되는가?
• RQ4 하드스티닝을 적용한 무작위 공 모델은 경계에서 0이 되는 막 과정을 어떻게 생성하는가?
• RQ5 구간 [0,T] 에서 하드스티닝 브릿지가 마팅게일 분해를 통해 분수 Browian 운동과 관련이 있는가?

주요 결과

• 추출된 과정 T'(s)T'(t) 의 공분산이 c(|s|^{2H} + |t|^{2H} - |s-t|^{2H}) 를 만족함을 보여, 지수 H 를 갖는 자기유사성임을 확인한다.
• d=1 이고 D=(0,T) 일 때, 하드스티닝 브릿지의 공분산은 E[W_β(s)W_β(t)] = f_β(s∨t) + f_β(T−s∧t) − f_β(|s−t|) − f_β(T) 이며, f_β(x) = 2^β/(β(1−β)) x^{1−β} (0<β<1) 이다.
• β = −1 일 때, 하드스티닝 브릿지가 고전적 브라운 브릿지로 축소되며, 공분산은 ½(s∧t)(T−s∨t) 가 된다.
• 0<β<1 일 때, W_β + Y_β 라는 합은 Y_β 가 파워가 √(x^{-β} + (T−x)^{-β}) 인 스토케스틱 적분인 경우, 허스트 지수 H = (1−β)/2 를 갖는 분수 Browian 운동을 생성한다.
• Y_β 는 −1<β<0 에서 잘 정의되며, 공분산이 C_β(s,t) = s^{1−β} + t^{1−β} − |s−t|^{1−β} 비례하는 복소 가우시안 과정을 생성한다.
• 리에츠 변환을 통한 구성은 자기유사성 지수 H 를 Z 가 아닌 값( d≥2) 또는 ½Z 가 아닌 값( d=1) 으로 확장할 수 있게 하여, 기존 모델의 적용 범위를 크게 넓힌다.