[논문 리뷰] GCH implies the existence of many rigid almost free abelian groups

Rüdiger Göbel, Saharon Shelah|ArXiv.org|2000. 11. 22.

Advanced Topology and Set TheoryMathematics참고 문헌 29인용 수 22

한 줄 요약

이 논문은 일반화된 연속체 가설(G.C.H.) 하에서, 기약 가능한 가산 자유환원환자와 자명한 쌍대를 갖는 비가산 기수 λ ≥ ℵ₁인 강력한 λ-자유 아벨 군의 존재를 확립한다. 새로운 스텝 렘마와 셸라의 포스팅 및 ladder 시스템에서 유래한 조합론적 도구를 사용하여, 연속적인 기수 단계를 거쳐 성질을 승계함으로써 이러한 강력한 거의 자유 군을 구성한다. 이는 이전의 ZFC 결과를 더 큰 기수로 확장한 것이다.

ABSTRACT

We begin with the existence of groups with trivial duals for cardinals aleph_n (n in omega). Then we derive results about strongly aleph_n-free abelian groups of cardinality aleph_n (n in omega) with prescribed free, countable endomorphism ring. Finally we use combinatorial results of [Sh:108], [Sh:141] to give similar answers for cardinals >aleph_omega. As in Magidor and Shelah [MgSh:204], a paper concerned with the existence of kappa-free, non-free abelian groups of cardinality kappa, the induction argument breaks down at aleph_omega. Recall that aleph_omega is the first singular cardinal and such groups of cardinality aleph_omega do not exist by the well-known Singular Compactness Theorem (see [Sh:52]).

연구 동기 및 목표

• 기약 가능한 가산 자유환원환자와 함께 ℵ₁-자유 아벨 군에 대한 ZFC 결과를 더 큰 비가산 기수로 확장하기.
• V = L나 마틴의 공리와 같은 강한 집합론적 가정 없이, 이러한 강력한 거의 자유 아벨 군이 더 약한 집합론적 가정 하에서 존재할 수 있는지 조사하기.
• G.C.H. 가 ℵω를 초월하여 강력한 자유 아벨 군의 환원환자 실현에 어떤 역할을 하는지 그 한계를 규명하기.
• 특히 일반화된 스텝 렘마와 u-자유 조건을 포함한 새로운 조합론적 및 대수적 기법을 개발하여, 극한 단계에서 이러한 군을 구성하기.
• ZFC + G.C.H. 하에서 이러한 군의 존재가 ℵω+1과 같은 특수한 자유도 제약 조건 하에서 비가산 특수한 극한 기수에서도 일관됨을 보여주기.

제안 방법

• 계승 단계에서 자유 부분군과 자유 몫을 갖는 연속적인 λ-필터레이션을 통해 강력한 λ-자유 아벨 군을 구성하기.
• 스텝 렘마를 적용하여 계승 단계에서 모듈을 확장하면서 환원환자 구조와 자명한 쌍대를 유지하기.
• n-ladder 시스템과 정적 부분집합을 사용하여 극한 순서수에서의 자유도와 환원환자 행동을 통제하기.
• 일반화된 u-자유 조건(정리 7.3)을 활용하여, 특정 기수에 코final인 극한 순서수에서의 합집합의 자유도를 보장하기.
• 셸라의 ladder 시스템과 예측 원리에 기반한 조합론적 도구를 활용하여 정확한 환원환자 구조를 갖는 군의 구성 지시하기.
• 기본 원소와 고정된 생성자 간의 관계를 통해, G의 확장이나 환원환자에 속하거나 A에 속함을 보장함으로써 EndZG = A 및 G∗= 0 를 검증하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 V = L보다 더 약한 집합론적 가정 하에서, λ > ℵ₁ 인 경우에 대해 기약 가능한 가산 자유환원환자와 함께 강력한 λ-자유 아벨 군을 구성할 수 있는가?
• RQ2 G.C.H. 는 ℵ₁의 경우를 초월하여 이러한 강력한 거의 자유 아벨 군의 존재를 가능하게 하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 코final이 비가산이면서 ω에 코final이 아닌 경우, 강력한 자유 아벨 군의 구성에서 자유도가 극한 순서수에서 어떻게 유지될 수 있는가?
• RQ4 건설은 ℵω를 초월하여 어느 정도까지 확장될 수 있으며, 특수한 콤���트성의 제약 조건은 무엇인가?
• RQ5 G.C.H. 하에서 임의의 가산 자유 R-대수를 강력한 자유 아벨 군의 환원환자로 실현할 수 있는가?

주요 결과

• ZFC + G.C.H. 하에서, 임의의 가산 자유 R-대수 A에 대해 기수 ℵω+1인 강력한 ℵω+1-자유 R-모듈 G가 존재하며, EndRG = A 이고 자유도 유형 ⟨ℵω+1, ℵ1⟩ 이다.
• 정칙 비가산 µ에 대해, 크기가 µ인 H∗= 0 인 모듈러 H 가 존재한다면, |G| = λ = 2µ = µ+ 인 강력한 λ-자유 R-모듈 G 가 존재하며, G∗= 0 이다.
• 임의의 정칙 비가산 기수 λ = µ+ 와 강력한 µ-자유 A-모듈 H 에 대해, EndRH = A 이고 자유도 유형 u = ⟨µ1, ..., µn⟩ 이라면, λ 가 적절한 래퍼 시스템을 갖는 정적 비소형 부분집합 S 를 포함하면, 강력한 λ-자유 G 가 존재하며, EndRG = A 이다.
• 극한 단계에서 일반화된 u-자유 조건(정리 7.3)을 사용함으로써 구성이 성공하며, 이는 극한 순서수에서의 합집합이 여전히 자유임을 보장한다.
• 일반적으로 ℵω+1 이상으로 결과를 확장할 수 없다는 것이 입증되었으며, ℵω2+1-자유 군이 크기 ℵω2+1 인 경우 실제로 자유임을 보여주는 ZFC + G.C.H. 모델이 존재한다.
• 핵심적인 신기술은, 계승 단계에서 군을 귀납적으로 구성하는 동안 환원환자와 쌍대의 구조를 제어할 수 있는 새로운 스텝 렘마이다.