[논문 리뷰] General Linear Quadratic Optimal Stochastic Control Problem Driven by a Brownian Motion and a Poisson Random Martingale Measure with Random Coefficients

Qingxin Meng|arXiv (Cornell University)|2011. 02. 16.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 21인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 브라운 운동과 포아송 랜덤 마링게일 측도에 의해 구동되는 다차원 뒤집힌 확률적 리카티 미분방정식(이하 BSRDEJ)의 해가 존재하고 유일함을 랜덤 계수 하에서 증명한다. 또한 일반적인 선형-제곱수 확률적 제어 문제에서 최적 제어가 BSRDEJ의 해를 통해 상태 피드백 형태로 표현됨을 증명한다.

ABSTRACT

The main purpose of this paper is to discuss detailed the stochastic LQ control problem with random coefficients where the linear system is a multidimensional stochastic differential equation driven by a multidimensional Brownian motion and a Poisson random martingale measure. In the paper, we will establish the connections of the multidimensional Backward stochastic Riccati equation with jumps (BSRDEJ in short form) to the stochastic LQ problem and to the associated Hamilton systems. By the connections, we show the optimal control have the state feedback representation. Moreover, we will show the existence and uniqueness result of the multidimensional BSRDEJ for the case where the generator is bounded linear dependence with respect to the unknowns martingale term.

연구 동기 및 목표

• 랜덤 계수를 가진 선형-제곱수(LQ) 확률적 제어 문제에 대해 오랫동안 미해결이었던 뒤집힌 확률적 리카티 방정식(이하 BSRDEJ)의 해를 구하는 데에 초점을 맞춘다.
• LQ 문제와 관련된 BSRDEJ와 스토크라스틱 해밀토니안 시스템 간의 연관성을 수립한다.
• 일반적인 랜덤 계수 조건 하에서 최적 제어가 상태 피드백 형태로 표현될 수 있음을 증명한다.
• 마팅게일 항 L과 H에 대한 생성자에 유계 선형 의존성이 있는 경우 BSRDEJ의 해에 대한 존재성과 유일성 결과를 제공한다.
• 고전적 LQ 제어 이론을 점프-확산 과정과 랜덤 계수를 고려한 경우로 확장하기 위해 고급 BSDE 기법을 적용한다.

제안 방법

• 다차원 브라운 운동과 포아송 랜덤 마팅게일 측도에 의해 구동되는 일반적인 선형-제곱수 최적 확률적 제어 문제를 수립한다.
• 알려지지 않은 변수 K, L, H에 대해 매우 비선형인 다차원 뒤집힌 확률적 리카티 미분방정식(이하 BSRDEJ)을 유도한다.
• 고정점 방법과 수축 사상 원리를 적용하여 마팅게일 항에 대한 유계 선형 의존성이 있는 조건 하에서 BSRDEJ 해의 존재성과 유일성을 증명한다.
• 이토–베를체르 공식과 수렴 정리를 사용하여 L² 및 L²(ν) 공간에서 근사 수열의 극한 행동을 분석한다.
• 리카티 방정식을 통해 BSRDEJ와 스토크라스틱 해밀토니안 시스템 간의 관계를 수립한다.
• 리만 수렴 정리와 그로워발 유형 추정을 적용하여 반복 수열의 수렴성을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 생성자가 마팅게일 항 L과 H에 대해 유계 선형 의존성을 가지며 계수가 랜덤인 경우, 점프를 포함한 뒤집힌 확률적 리카티 방정식(이하 BSRDEJ)의 해가 유일하게 존재하는가?
• RQ2 랜덤 계수를 가진 일반적인 선형-제곱수 확률적 제어 문제에서 최적 제어가 상태 피드백 형태로 표현될 수 있는가?
• RQ3 점프-확산 과정의 맥락에서 BSRDEJ와 스토크라스틱 해밀토니안 시스템 간의 관계는 어떠한가?
• RQ4 일반적인 랜덤 계수 가정 하에서 BSRDEJ 해의 존재성과 유일성을 어떻게 확립할 수 있는가?
• RQ5 포아송 랜덤 마팅게일 측도는 리카티 방정식의 구조와 피드백 제어 법칙에서 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 생성자가 마팅게일 항 L과 H에 대해 유계 선형 의존성을 가지는 조건 하에서, 브라운 운동과 포아송 랜덤 마팅게일 측도에 의해 구동되는 다차원 BSRDEJ의 해가 존재하고 유일하다.
• 랜덤 계수를 가진 일반적인 선형-제곱수 확률적 제어 문제에서 최적 제어는 BSRDEJ의 해를 통해 상태 피드백 형태로 표현될 수 있다.
• 근사 수열 {K_j}이 모든 q > 0 에 대해 L^q에서 해 K로 수렴하며, 마팅게일 항에 대해서는 L² 및 L²(ν) 노름 모두에서 수렴한다.
• 두 BSRDEJ 해의 차이가 거의 확실히 비음수임을 보여, 비교 원리를 통해 유일성을 증명한다.
• 증명은 수축 사상 원리에 기반하며, 반복 근사 간 차이의 성장을 통제하기 위해 그로워발 유형 부등식을 적용한다.
• 결과는 고전적 LQ 제어 이론을 점프-확산 과정과 랜덤 계수를 고려한 경우로 일반화하며, 이전의 결정론적 및 점프가 없는 경우의 연구를 확장한다.