[논문 리뷰] Generalised Clifford groups and simulation of associated quantum circuits

Sean Clark, Richard Jozsa외 1명|ArXiv.org|2007. 01. 15.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 13인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 파울리 군을 임의의 유한부군 $ G \subset U(d) $ 로 대체하여 고테스만-크닐 정리를 일반화한다. $ G \otimes G $ 의 사영 정규화군이 얽힘 게이트를 생성하는 조건을 규명한다. 큐비트의 경우($ d=2 $), 이러한 군들을 체계적으로 분류하고, 단지 $ X $ 와 $ Z $ 의 $ n $ 번째 근수로 생성되는 군들만이 얽힘 정규화군을 갖는다는 것을 밝혀내며, 표준 클리포드 군을 초월한 고전적으로 효율적으로 시뮬레이션 가능한 양자 회로의 범위를 확장한다.

ABSTRACT

Quantum computations that involve only Clifford operations are classically simulable despite the fact that they generate highly entangled states; this is the content of the Gottesman-Knill theorem. Here we isolate the ingredients of the theorem and provide generalisations of some of them with the aim of identifying new classes of simulable quantum computations. In the usual construction, Clifford operations arise as projective normalisers of the first and second tensor powers of the Pauli group. We consider replacing the Pauli group by an arbitrary finite subgroup G of U(d). In particular we seek G such that G tensor G has an entangling normaliser. Via a generalisation of the Gottesman-Knill theorem the resulting normalisers lead to classes of quantum circuits that can be classically efficiently simulated. For the qubit case d=2 we exhaustively treat all finite subgroups of U(2) and find that the only ones (up to unitary equivalence and trivial phase extensions) with entangling normalisers are the groups G_n generated by X and the n^th root of Z.

연구 동기 및 목표

• 파울리 군을 임의의 유한부군 $ G \subset U(d) $ 로 대체하여 고테스만-크닐 정리를 일반화하고, 고전적으로 효율적으로 시뮬레이션 가능한 새로운 양자 회로 클래스를 규명하는 것.
• 사영 정규화군 $ \mathrm{ProjNorm}(G \otimes G) $ 가 얽힘을 일으키는 조건을 조사함으로써, 일반화된 고테스만-크닐 프레임워크를 통해 시뮬레이션 가능한 양자 회로로 이어지는지 확인하는 것.
• 큐비트의 경우에 국한하여, 단위변환에 의한 동치와 위상 확장을 고려할 때, $ G \otimes G $ 의 얽힘 정규화군을 갖는 모든 유한부군 $ U(2) $ 를 체계적으로 분류하는 것.
• 높은 차원 군($ d \geq 3 $) 또는 기약 표현이 아닌 표현이, 큐비트 경우를 초월하여 새로운 얽힘 정규화군을 생성하는지 탐색하는 것.
• 비자명한 사영 정규화군의 존재를 보장하는 군 $ G $ 의 수학적 특징, 특히 회로 조합과 시뮬레이션과의 관련성을 규명하는 것.

제안 방법

• 유한부군 $ G \subset U(d) $ 에 대해 $ G \otimes G $ 의 사영 정규화군으로서 일반화된 클리포드 군을 정의하고, 얽힘 성질을 갖는지 분석한다.
• 군론적 기법을 사용하여 $ U(2^2) $ 내에서 $ G \otimes G $ 의 정규화군을 분석하고, 사영 정규화군의 구조와 얽힘 생성 능력 간의 관계를 조사한다.
• 계산 기반 대수 기법을 적용하여, 단위변환에 의한 동치와 위상 확장을 고려할 때 $ U(2) $ 의 모든 유한부군을 분류하고, 얽힘 정규화군을 갖는 군들을 식별한다.
• $ G_m = \langle X, Z^{1/m} \rangle $ 의 정규화군의 구조를 특성화하여, $ CZ $ 와 $ \mathrm{SWAP} $ 가 $ G_m \otimes G_m $ 의 전체 정규화군을 생성함을 보이고, 모든 $ m \in \mathbb{N} $ 에 대해 $ CZ $ 가 얽힘 게이트로 작용함을 밝힌다.
• 특히 이진 딜레드랄 군 $ Q_{4n} $ 의 유한군 표현 이론을 활용하여, $ m \in \mathbb{N} $ 에 대해 $ G_m $ 과 동형인 구조 이외의 새로운 사영 정규화군의 구조가 나타나지 않음을 증명한다.
• $ n \geq 3 $ 에 대해 $ G^{\bigotimes n} $ 의 정규화군의 구조적 성질을 조사하며, $ n=1 $ 과 $ n=2 $ 의 구성 요소로만 이루어지지 않는 새로운 정규화군이 존재하는지 묻는다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어느 유한부군 $ G \subset U(2) $ 가 $ G \otimes G $ 의 사영 정규화군을 갖는지, 이로 인해 고전적으로 효율적으로 시뮬레이션 가능한 양자 회로가 생성되는가?
• RQ2 표준 파울리 군과 그 확장 이외의 유한부군 $ G \subset U(2) $ 가 일반화된 정규화군의 구조를 통해 새로운 효율적 시뮬레이션 가능한 양자 회로 클래스를 생성하는가?
• RQ3 $ n \geq 3 $ 에 대해 $ G^{\bigotimes n} $ 의 정규화군이 $ n=1 $ 과 $ n=2 $ 의 정규화군으로 생성되지 않는 게이트를 포함할 수 있는가, 즉 $ G \otimes G $ 가 그러한 얽힘 정규화군을 갖지 않더라도 말이다?
• RQ4 유한군 $ G \subset U(d) $ 가 비자명한 사영 정규화군을 갖는다는 것을 시사하는 수학적 성질은 무엇인가? 특히 회로 조합과 시뮬레이션과의 관련성에서.
• RQ5 높은 차원 군($ d \geq 3 $) 또는 $ G \subset U(d) $ 의 기약 표현이 아닌 표현이, 기약 케이스에 존재하지 않는 새로운 얽힘 정규화군을 생성하는가?

주요 결과

• 큐비트의 경우($ d=2 $), 단위변환에 의한 동치와 위상 확장을 고려할 때, $ G \otimes G $ 의 얽힘 정규화군을 갖는 오직 유한부군은 파울리 $ X $ 게이트와 $ Z $ 의 $ n $ 번째 근수로 생성되는 군들 뿐이며, $ m \in \mathbb{N} $ 에 대해 $ G_m $ 이라고 표기한다.
• 모든 $ m \in \mathbb{N} $ 에 대해 $ G_m \otimes G_m $ 의 사영 정규화군은 $ CZ $ 게이트, 스위치 게이트, 그리고 $ G_m \otimes G_m $ 로 생성되며, $ CZ $ 는 모든 $ m \in \mathbb{N} $ 에 대해 얽힘 게이트로 작용한다.
• 중앙 몫이 이진 딜레드랄 군 $ Q_{4n} $ 와 동형이 되는 $ U(2) $ 의 모든 유한부군은 중심 확장된 $ G_m $ 과 단위변환에 의한 동치이며, 이진 딜레드랄 군 $ Q_{4n} $ 의 다른 기약 표현에 대해서도 새로운 정규화군의 구조는 나타나지 않는다.
• $ G_m \otimes G_m $ 의 정규화군의 구조는 완전히 특성화되었으며, 표준 클리포드 군의 구조와 동형이며, 파울리 군에서 이미 알려진 바와 같은 새로운 얽힘 정규화군은 존재하지 않는다.
• $ d \geq 3 $ 의 경우, $ U(3) $ 에 대한 계산적 탐색에서 새로운 얽힘 텔레포테이션 군은 발견되지 않았지만, 군의 크기로 인해 체계적인 분류는 여전히 계산적으로 도전적이다.
• 논문은 $ n \geq 3 $ 에 대해 $ G^{\bigotimes n} $ 의 정규화군이 $ n=1 $ 과 $ n=2 $ 의 구성 요소로만 이루어지지 않는 경우가 존재할 수 있는지 여부를 열려 있는 문제로 남긴다. 이는 $ G \otimes G $ 가 그러한 얽힘 정규화군을 갖지 않더라도 말이다.