[논문 리뷰] Generalizations of Reeb spaces of special generic maps and applications to a problem of lifts of smooth maps

Naoki Kitazawa|arXiv (Cornell University)|2018. 05. 20.

Topological and Geometric Data Analysis참고 문헌 3인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 특수 일반 맵의 Reeb 공간으로의 일반화된 몫 사상들을 다각형과 컴acts 매니폴드로 확장하여, 고차원 유클리드 공간으로의 임베딩을 통한 모스 함수의 업그레이드 문제를 해결한다. 이를 통해 차원 >2인 닫힌 매니폴드 위의 구형 모스 함수는 항상 R^n으로의 임베딩으로 업그레이드될 수 있으며, 이때 n ≥ max{(3m+3)/2, m+3}+1 이고, 정사영 사상과의 합성으로 원래 함수를 복원할 수 있음을 보여준다.

ABSTRACT

A Reeb space is defined as the space of all the connected components of inverse images of a smooth map, which is a fundamental tool in studying smooth manifolds using generic smooth maps whose codimensions are not positive such as Morse functions, their higher dimensional versions including fold maps and general stable maps. A special generic map is a fold map and a generalization of Morse functions with just 2 singular points on homotopy spheres and the Reeb space is a compact manifold whose dimension is equal to that of the target manifold and which can be immersed into the target manifold. In this paper, we generalize a quotient map onto a Reeb space of a special generic map. We define a map onto a polyhedron locally a quotient map induced from a special generic map. Moreover, we take advantage of the generalized maps to construct lifts of Morse functions of a certain class; the composition of the lift and the canonical projection is the original funciton. It is an answer of an explicit problem in the studies of lifts of smooth maps, or maps such that the compositions of the found maps and the canonical projections are original maps, which are fundamental and important in the studies of smooth maps and applications to algebraic and differential topology of manifolds.

연구 동기 및 목표

• 특수 일반 맵의 Reeb 공간으로의 몫 사상을 다각형과 컴acts 매니폴드로 일반화한다.
• 고차원 유클리드 공간으로의 임베딩 또는 임mersi온을 통한 모스 함수 업그레이드 문제를 해결한다.
• 원래 부드러운 사상이 복원되는 방식으로 업그레이드의 명시적 구성 방법을 제공한다.
• 이전의 특수 일반 맵 및 허위 특수 일반 맵의 업그레이드 결과를 더 높은 코드림으로 확장한다.
• 특히 비가역 매니폴드와 고차원 목표 공간에 대해 이러한 업그레이드가 존재하는 조건을 설정한다.

제안 방법

• 특수 일반 맵의 국소 모델링을 일반화한 허위 특수 일반 맵을 정의한다.
• Reeb 공간의 구조와 그 콤팩트 이웃 영역을 이용하여 국소 업그레이드를 전역 임베딩으로 확장한다.
• 구면의 임베딩 공간의 단순연결성을 다루는 [15]의 기법을 활용하여 삼중 허위 특수 일반 맵을 확장한다.
• Reeb 공간의 경계 콤팩트 이웃 영역을 통해 정규 번들의 자명성과 함께 R^n으로의 임베딩 업그레이드를 구성한다.
• 임베딩과 정규 사영 π_{n,1}의 합성으로 원래 모스 함수가 복원되도록 보장한다.
• S^{m-2}의 R^{n-3}로의 부드러운 임베딩 공간이 단순연결임을 이용하여 업그레이드를 전역적으로 확장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 특수 일반 맵에 대한 Reeb 공간 구성은 다각형과 컴acts 매니폴드로의 사상으로 일반화될 수 있는가?
• RQ2 차원 >2인 닫힌 매니폴드 위의 구형 모스 함수가 R^n으로의 임베딩으로 업그레이드될 수 있는 조건은 무엇인가, 이때 π_{n,1}과의 합성으로 원래 함수를 복원할 수 있는가?
• RQ3 이러한 업그레이드가 존재하는 최소 목표 유클리드 공간의 차원 n은 얼마인가?
• RQ4 기여 매니폴드의 가역성과 위상적 성질은 이러한 업그레이드의 존재에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 π_{n,3}과의 합성으로 R^3에 포함된 2차원 컴acts 매니폴드로의 자명한 허위 특수 일반 맵과 동치인 사상이 되도록 업그레이드를 구성할 수 있는가?

주요 결과

• 차원 m > 2인 닫힌 매니폴드 위의 구형 모스 함수는 R^n으로의 부드러운 임베딩과 정규 사영 π_{n,1}의 합성으로 표현될 수 있으며, 이때 n ≥ max{(3m+3)/2, m+3}+1 이다.
• 임베딩 업그레이드를 구성함으로써 π_{n,3}과의 합성으로 2차원 컴acts 매니폴드에 포함된 R^3 내의 자명한 허위 특수 일반 맵과 동치인 사상이 얻어진다.
• 이 구성은 구면의 임베딩 공간의 단순연결성을 이용하여 Reeb 공간의 경계 콤팩트 이웃 영역을 통해 국소 업그레이드를 전역적으로 확장하는 데 의존한다.
• 비가역 기여 매니폴드의 경우, 기저 허위 특수 일반 맵이 자명한 경우, n > 2인 R^n으로의 특수 일반 맵 업그레이드를 구성할 수 없다.
• 이전의 [11]의 결과를 비가역 케이스와 더 높은 코드림으로 확장함으로써, 기존 결과를 일반화한다.