[논문 리뷰] Generalizations of the Ruzsa-Szemer\'edi and rainbow Tur\'an problems for cliques

W. T. Gowers, Barnabás Janzer|arXiv (Cornell University)|2020. 03. 05.

Limits and Structures in Graph Theory참고 문헌 12인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 Ruzsa–Szemerédi 및 레인보우 Turán 문제를 클리크로 일반화하여, 임의의 r < s에 대해 각 K_r가 최대 한 개의 K_s에만 포함되는 n개 정점의 그래프에서 K_s의 복제 수가 n^{r−o(1)}임을 증명한다. 또한 r ≥ 4일 때 ex(n, K_r, rainbow-K_r) = n^{r−1−o(1)}임을 확립하여, 클리크에 대한 일반화된 레인보우 Turán 수의 주요 순서를 해결한다.

ABSTRACT

Considering a natural generalization of the Ruzsa-Szemer\'edi problem, we prove that for any fixed positive integers $r,s$ with $r<s$, there are graphs on $n$ vertices containing $n^{r}e^{-O(\sqrt{\log{n}})}=n^{r-o(1)}$ copies of $K_s$ such that any $K_r$ is contained in at most one $K_s$. We also give bounds for the generalized rainbow Tur\'an problem $\operatorname{ex}(n, H,$rainbow-$F)$ when $F$ is complete. In particular, we answer a question of Gerbner, M\'esz\'aros, Methuku and Palmer, showing that there are properly edge-coloured graphs on $n$ vertices with $n^{r-1-o(1)}$ copies of $K_r$ such that no $K_r$ is rainbow.

연구 동기 및 목표

• Ruzsa–Szemerédi 문제를 더 높은 클리크로 일반화하여, 각 K_r가 최대 한 개의 K_s에만 포함되는 조건에서 n개 정점의 그래프에서 K_s 복제 수의 최대치를 결정한다.
• r ≥ 4일 때 일반화된 레인보우 Turán 수 ex(n, K_r, rainbow-K_r)의 주요 순서를 해결한다.
• 일반화된 클리크 설정에서 거의 최적의 경계를 달성하는 기하학적 및 곱 기반 구성법을 개발한다.
• Gerbner, Mészáros, Methuku, Palmer가 제기한 ex(n, K_r, rainbow-K_r)의 점근적 성장률에 대한 질문에 답한다.

제안 방법

• 특정 벡터 할당을 통해 제어된 클리크 포함성을 보장하는 R^d 내 점들을 사용한 기하학적 그래프를 구성한다.
• 정점 순열과 간선 색상 대칭성 자동형사를 활용한 6분할 구성법을 통해 레인보우 K_4가 없는 K_6의 여러 복제를 생성한다.
• 기본 그래프의 여러 복제 간 곱 구성법을 적용하여 K_6 복제 수를 증폭하면서도 레인보우 자유 성질을 유지한다.
• K_6에 5가지 색상과 대칭성(자기동형군이 추이적으로 작용)을 적용한 색상 부여 체계를 사용하여 복제 간 구조적 일관성을 유지한다.
• c-스패닝 집합과 부분공간 차원 개념을 활용하여 킹 그래프 H_{k,l} 내 K_4 자유 구성의 수를 상한한다.
• 정점의 벡터 표현을 통해 간선 색상 부여를 모델링하고, 선형 대수 조건을 적용하여 레인보우 K_4가 나타나지 않도록 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고정된 r < s에 대해, 각 K_r가 최대 한 개의 K_s에만 포함되는 n개 정점의 그래프에서 K_s 복제 수의 최대치는 얼마인가?
• RQ2 Ruzsa–Szemerédi 문제의 하한 구성법을 r ≥ 3인 더 높은 클리크로 일반화할 수 있는가?
• RQ3 r ≥ 4일 때 ex(n, K_r, rainbow-K_r)의 주요 순서는 무엇이며, O(n^{r−1})의 상한이 날카로운가?
• RQ4 기하학적 또는 곱 기반 구성법이 클리크에 대한 일반화된 Turán 문제에서 거의 최적의 지수를 달성할 수 있는가?
• RQ5 킹 그래프 H_{k,l}에 대해 ex(n, H_{k,l}, rainbow-K_4)의 점근적 행동은 어떠한가?

주요 결과

• 임의의 고정된 r < s에 대해, 각 K_r가 최대 한 개의 K_s에만 포함되는 n개 정점의 그래프가 존재하며, 이 그래프는 K_s 복제 수가 n^{r−o(1)}이다. 이는 거의 최적의 하한을 확립한다.
• 이 구성법은 K_s 복제 수가 n^{r−o(1)}에 도달하며, 이는 r=2, s=3인 Ruzsa–Szemerédi의 경우와 동일한 지수를 유지하지만 더 높은 클리크로 일반화된 것이다.
• 모든 r ≥ 4에 대해 ex(n, K_r, rainbow-K_r) = n^{r−1−o(1)}임을 증명하여, 이 일반화된 레인보우 Turán 수의 주요 순서에 대한 열린 문제를 해결한다.
• 6분할 그래프와 색상 유지 순열을 사용한 곱 구성법을 통해 레인보우 K_4가 없는 K_6 복제 수가 최소 n^{12−o(1)}개 존재함을 도출한다. 이는 기본 구성법을 향상시킨 결과이다.
• 킹 그래프 H_{k,l}에 대해 ex(n, H_{k,l}, rainbow-K_4) = n^{k+l−1−o(1)}이라는 상한을 확립하여, 지수 값이 기본 벡터 공간의 차원과 일치함을 보여준다.
• ex(n, K_r, rainbow-K_r)에 대한 상한 O(n^{r−1})이 날카로운 것으로 확인되었으며, 하한이 n^{r−1−o(1)}과 일치함을 증명한다.