[논문 리뷰] Generalized rainbow Tur\'an problems

Dániel Gerbner, Tamás Mészáros외 2명|arXiv (Cornell University)|2019. 11. 15.

Limits and Structures in Graph Theory참고 문헌 29인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 일반화된 레인보우 투란 문제를 도입하고 연구한다: 레인보우 $F$를 포함하지 않는 적절히 색칠된 $n$-정점 그래프에서 $F$의 사본 수의 최댓값을 구하는 것. 저자들은 경로, 홀수 사이클, 나무에 대해 날카러진 경계를 확립하여 대부분의 나무에서는 다항식 성장, 특정 예외인 별과 이중 별과 같은 경우에서는 선형 성장이 일어남을 보여주며, 엣지 색칠 제약 조건이 있는 레인보우 설정으로 고전적 투란 이론을 확장한다.

ABSTRACT

Alon and Shikhelman initiated the systematic study of the following generalized Tur\\'an problem: for fixed graphs $H$ and $F$ and an integer $n$, what is the maximum number of copies of $H$ in an $n$-vertex $F$-free graph? An edge-colored graph is called rainbow if all its edges have different colors. The rainbow Tur\\'an number of $F$ is defined as the maximum number of edges in a properly edge-colored graph on $n$ vertices with no rainbow copy of $F$. The study of rainbow Tur\\'an problems was initiated by Keevash, Mubayi, Sudakov and Verstra\\"ete. Motivated by the above problems, we study the following problem: What is the maximum number of copies of $F$ in a properly edge-colored graph on $n$ vertices without a rainbow copy of $F$? We establish several results, including when $F$ is a path, cycle or tree.

연구 동기 및 목표

• 레인보우 설정으로 고전적 투란 이론을 확장하기 위해, 레인보우 $F$를 포함하지 않는 적절히 색칠된 $n$-정점 그래프에서 그래프 $F$의 사본 수의 최댓값을 연구하는 것.
• 경로, 사이클, 나무를 포함한 다양한 그래프 가족에 대해 이 극한 함수의 점근적 순서의 크기를 결정하는 것.
• 특히 별 모양과 나무 모양의 그래프에 초점을 맞춰, $F$의 레인보우 없는 사본 수를 제한하는 구조적 및 색칠 제약 조건을 규명하는 것.
• 금지된 레인보우 부분그래프의 맥락에서, 그래프 구조와 엣지 색칠 간의 상호작용을 극한 조합론에서 탐색하는 것.

제안 방법

• 저자들은 레인보우 $F$를 포함하지 않는 적절히 색칠된 $n$-정점 그래프에서 $F$의 사본 수의 최댓값을 정의하여 일반화된 레인보우 투란 수 $\operatorname{ex}(n,F,\textup{rainbow-}F)$를 도입한다.
• 도수 경계와 세는 추론과 같은 극한 그래프 이론 기법을 사용하여 $F$의 사본 수에 대한 상한을 유도한다.
• 별로 이루어진 그래프에 대해서는 고도수 정점이 $F$의 모든 사본에 포함되어야 하므로, $O(n^2)$개의 사본에 대한 경계를 도출한다.
• 기존의 레인보우 투란 수와 일반화된 투란 수 결과를 적용하고, $F$의 구조적 분석과 결합하여 점근적 추정치를 유도한다.
• 경로, 홀수 사이클, 짝수 사이클, 나무와 같은 특정 그래프 유형을 사례별 추론과 극한 구성으로 분석한다.
• 별과 이중 별을 제외한 나무의 경우, 사본 수가 선형보다 빠르게 증가함을 증명하며, $T_p$ (한 정점에 $p$개의 잎이 있는 삼각형)와 같은 특정 구성에서는 여전히 선형 성장이 유지됨을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 경로일 경우 $\operatorname{ex}(n,F,\textup{rainbow-}F)$의 점근적 순서의 크기는 어떻게 되는가?
• RQ2 홀수 사이클 $C_{2k+1}$의 경우, 레인보우 $C_{2k+1}$를 포함하지 않는 적절히 색칠된 $n$-정점 그래프에서 $C_{2k+1}$의 사본 수는 어떻게 성장하는가?
• RQ3 짝수 사이클 $C_{2k}$의 경우, 레인보우-$F$-자유 그래프에서 $C_6$의 사본 수는 최대 몇 개인가? 그리고 고전적 투란 수와 비교해보면 어떻게 되는가?
• RQ4 어떤 나무 $T$에 대해 $\operatorname{ex}(n,T,\textup{rainbow-}T)$는 선형으로 성장하고, 어떤 경우에는 더 빠르게 성장하는가?
• RQ5 $H \neq F$일 때 함수 $\operatorname{ex}(n,H,\textup{rainbow-}F)$는 의미 있게 연구될 수 있는가? 그리고 어떤 구조적 제약 조건이 나타나는가?

주요 결과

• 경로 $P_k$에 대해, 레인보우-$P_k$-자유 그래프에서 $P_k$의 사본 수는 $\Omega(n)$와 $O(n)$ 사이에 경계가 있으며, 선형 성장임을 나타낸다.
• 홀수 사이클 $C_{2k+1}$에 대해, 레인보우-$C_{2k+1}$-자유 그래프에서 $C_{2k+1}$의 사본 수는 $\Theta(n^{3/2})$이며, 기존의 일반화된 투란 결과와 일치한다.
• 짝수 사이클 $C_6$에 대해, 레인보우-$C_6$-자유 그래프에서 $C_6$의 사본 수는 $O(n^{4/3})$이며, 기존의 레인보우 투란 경계와 일치한다.
• 별과 이중 별을 제외한 나무의 경우, $\operatorname{ex}(n,T,\textup{rainbow-}T)$는 선형보다 빠르게 증가하며, 이는 레인보우 없는 경우에 비해 극한 구조가 상당히 증가했음을 나타낸다.
• $T_p$ (한 정점에 $p$개의 잎이 있는 삼각형)에 대해 $\operatorname{ex}(n,T_p,\textup{rainbow-}T_p) = O(n)$이며, 이는 구조적 대칭성이 성장률을 제한할 수 있음을 보여준다.
• $k > 1$개의 간선을 가진 매칭 $M_k$에 대해 $\operatorname{ex}(n,M_k,\textup{rainbow-}M_k) = \Theta(n^k)$이며, 이는 엣지를 적절히 색칠할 경우 레인보우 제약 조건이 매칭의 수를 제한하지 않음을 보여준다.