[논문 리뷰] Generalized Backward Stochastic Differential Equation With Two Reflecting Barriers and Stochastic Quadratic Growth

El Hassan Essaky, M. Hassani|arXiv (Cornell University)|2008. 05. 19.

Stochastic processes and financial applications인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 z-변수에서 확률적 이차 성장 조건을 가지며 두 개의 반사 경계를 가진 일차원 일반화된 역확률미분방정식(Backward Stochastic Differential Equation, BSDE)에 대해 최대 해의 존재성을 확립한다. 비교 정리, 지수 변환 및 근사 기법을 활용하여 데이터에 대한 P-적분 가능성 조건을 요구하지 않고도 존재성을 증명하며, 이는 다이닝 게임과 미국 게임 옵션으로의 결과 확장에 기여한다.

ABSTRACT

In this paper we study one-dimensional generalized reflected backward stochastic differential equation with two barriers and stochastic quadratic growth. We prove the existence of a maximal solution when there exists a semimartingale between the barriers L and U, the generator f is continuous with general growth with respect to the variable y and stochastic quadratic growth with respect to the variable z and without assuming any P-integrability conditions on the data. The proof of our result is based on the use of a comparison theorem, an exponential transformation and an approximation technique. Our result is applied to the Dynkin game problem as well as to the American game option. Keys Words: Reflected backward stochastic differential equation; stochastic quadratic growth; comparison theorem; exponential transformation. AMS Classification(1991): 60H10, 60H20. 1

연구 동기 및 목표

• 두 개의 반사 경계와 확률적 이차 성장 조건을 가진 일반화된 반사 역확률미분방정식(Backward Stochastic Differential Equation, BSDE)을 연구하는 것.
• 이전 연구에서 일반적으로 요구되는 데이터에 대한 P-적분 가능성 조건의 부재를 다루는 것.
• 생성자 f에 대한 일반적인 성장 조건 하에서 최대 해의 존재성을 확립하는 것.
• 스토크래틱 제어 및 게임 이론 분야의 적용, 예를 들어 다이닝 게임과 미국 게임 옵션으로의 이론적 프레임워크 확장을 위한 것.

제안 방법

• 일반적인 성장 조건 하에서 BSDE의 해를 비교하기 위해 비교 정리를 활용하는 것.
• 생성자에서 z-변수의 확률적 이차 성장을 다루기 위해 지수 변환을 적용하는 것.
• 수렴하는 최대 해로 향하는 해의 수열을 구성하기 위해 근사 기법을 활용하는 것.
• 두 반사 경계 L과 U 사이의 연속형 마틴갈이 존재함을 바탕으로 경로별 정규성을 보장하는 것.
• y에 대한 생성자 f의 연속성과 z에 대한 확률적 이차 성장 조건을 결합하여 현실적인 금융 및 제어 문제를 모델링하는 것.
• P-적분 가능성 조건이 없을 경우에도 타이트성 및 컴팩턴스 논증을 통해 근사 해의 수렴성을 확립하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 생성자가 z에 대해 확률적 이차 성장을 가지며 y에 대해 일반적인 성장을 보일 때, 두 개의 반사 경계를 가진 반사 BSDE에 대해 최대 해가 존재할 수 있는가?
• RQ2 최종 조건이나 드라이버에 대한 P-적분 가능성 조건을 가정하지 않고도 존재성을 증명할 수 있는가?
• RQ3 반사 BSDE의 맥락에서 확률적 이차 성장을 다룰 수 있도록 비교 정리를 어떻게 적응시킬 수 있는가?
• RQ4 z-변수의 이차 성장 조건 하에서 해를 안정화시키는 데 효과적인 변환 기법은 무엇인가?
• RQ5 이 프레임워크는 다이닝 게임과 미국 게임 옵션과 같은 스토크래틱 게임 문제에 어느 정도 적용될 수 있는가?

주요 결과

• 일반적인 성장 조건과 확률적 이차 성장 조건 하에서 두 개의 반사 경계를 가진 일반화된 반사 BSDE에 대해 최대 해가 존재한다.
• 데이터에 대한 P-적분 가능성 조건을 요구하지 않도록 해를 구성함으로써, 덜 규칙적인 설정으로의 적용 범위를 넓혔다.
• 지수 변환은 생성자에서 z-성분의 이차 성장을 효과적으로 제어한다.
• 비마르코프성 및 비립시츠 구조를 가진 생성자 맥락에서 비교 정리를 확장하였다.
• 이 프레임워크는 다이닝 게임 문제에 성공적으로 적용되었으며, 일반적인 조건 하에서 확률적 해를 제공한다.
• 이 방법은 해가 거의 확실히 두 반사 경계 내에 머무르도록 보장하여 경로별 적합성을 확보한다.