[논문 리뷰] Generalized BSDE With 2-Reflecting Barriers and Stochastic Quadratic Growth. Application to Dynkin Games

El Hassan Essaky, M. Hassani외 1명|arXiv (Cornell University)|2010. 01. 01.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 20인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 종단 조건이 단지 FT-가측성일 뿐이며, 드라이버가 y에 대한 일반적 성장과 z에 대한 확률적 이차 성장(또는 P-적분 가능성 조건이 필요하지 않음)을 갖는다는 약한 조건 하에서, 일차원 일반화된 역수확확률미분방정식(GSDEs)에 대해 두 개의 반사 경계를 가진 최대 해의 존재성을 확립한다. 증명은 비교 정리, 지수적 측도 변환 및 근사 기법에 기반하며, Dynkin 게임과 미국 게임 옵션에의 응용을 통해 더 약한 조건 하에서도 안정점 존재성을 입증한다.

ABSTRACT

In this paper we study the existence of a solution for one-dimensional generalized backward stochastic differential equation (GBSDE for short) with two reflecting barriers under weak assump- tions on the coefficients. In particular, we construct a maximal solution for such a GBSDE when the terminal conditionis only FT measurable and the driver f is continuous with general growth with respect to the variable y and stochastic quadratic growth with respect to the variable z without assuming any P integrability conditions. The proof of our main result is based on a comparison theorem, an exponential change and an approximation technique. Finally, we give applications of our result to the Dynkin game problem as well as to the American game option. We prove the existence of a saddle-point for this game under weaker conditions in a general setting.

연구 동기 및 목표

• 계수에 대한 최소한의 가정 하에서, 두 개의 반사 경계를 가진 일반화된 역수확확률미분방정식(GSDEs)의 해 존재성을 확립하는 것.
• 드라이버 f에 대한 표준 적분 가능성 조건을 완화하여, 특히 z 변수에 대한 P-적분 가능성 조건이 필요 없도록 하는 것.
• y에 대한 일반적 성장과 z에 대한 확률적 이차 성장 조건을 갖는 경우로 BSDE의 반사 이론을 확장하는 것.
• 이론적 결과를 Dynkin 게임 문제와 미국 게임 옵션에 적용하여, 이전에 알려진 것보다 더 약한 조건 하에서도 안정점 존재성을 입증하는 것.

제안 방법

• 해의 순서를 보장하고 근사 과정에서의 질서를 제어하기 위해 비교 정리를 활용하는 것.
• y 변수에 대한 일반적 성장을 다루고 드라이버를 안정화하기 위해 지수적 측도 변환을 적용하는 것.
• 절단과 정규화를 이용한 근사 기법을 통해 수렴하는 해의 수열을 구성하는 것.
• 유계 드라이버와 경계를 갖는 GBSDE 수열을 구성한 후, 코herence와 수렴성 논증을 통해 극한으로 보낸다.
• 약한 수렴 기법과 균일 추정을 활용하여 극한이 원래의 두 개의 반사 경계를 가진 GBSDE를 만족함을 보장하는 것.
• z에 대한 드라이버의 확률적 이차 성장 특성을 활용하여 이토 적분 항을 제어하며, 적분 가능성 조건을 요구하지 않는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 드라이버 f가 y에 대한 일반적 성장과 z에 대한 확률적 이차 성장 조건을 갖지만 P-적분 가능성 조건이 없을 경우, 일차원 GBSDE에 두 개의 반사 경계를 가진 해가 존재할 수 있는가?
• RQ2 종단 조건이 단지 FT-가측성일 뿐이며 유계이거나 L²-적분 가능성일 필요가 없을 경우, 최대 해를 구성하는 것이 가능한가?
• RQ3 비선형 드라이버의 일반적 성장과 두 개의 반사 경계 간의 상호작용을 다룰 수 있도록 비교 정리를 어떻게 수정할 수 있는가?
• RQ4 이전에 알려진 것보다 더 약한 조건 하에서도, Dynkin 게임에서 안정점 존재를 보장하는 조건는 무엇인가?
• RQ5 제안된 방법은 일반 확률 공간에서 미국 게임 옵션에 대한 해 존재성을 증명하는 데로 확장 가능한가?

주요 결과

• 종단 조건이 단지 FT-가측성일 뿐이라는 약한 조건 하에서도, 두 개의 반사 경계를 가진 GBSDE에 대해 최대 해가 존재한다.
• 드라이버 f는 y에 대한 일반적 성장과 z에 대한 확률적 이차 성장 조건을 허용하며, 어떤 P-적분 가능성 조건도 필요로 하지 않는다.
• 해는 근사 방법과 함께 지수적 측도 변환 및 비교 정리를 활용하여 구성된다.
• 이전에 요구된 것보다 더 약한 조건 하에서도 일반적인 설정에서 Dynkin 게임 문제에 대해 안정점 존재성이 입증된다.
• 이 방법은 미국 게임 옵션에 적용되어 이 경우에 내쉬 균형 존재성을 확립한다.