[논문 리뷰] Generalized cohomology theories for algebraic stacks

Adeel A. Khan, Charanya Ravi|arXiv (Cornell University)|2021. 06. 28.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 Voevodsky의 안정 모티브 호모토피 범주를 스칼로페드 대수적 스택으로 확장하여, 대수적 K-이론, 모티브 호모토피, 대수적 코버지언 등 일반화된 코homology 이론에 대한 완전한 여섯 연산 형식을 수립한다. 이 이론들이 호모토피 불변성, 국소화, 마이어-비토리스 성질, 그리고 토루스 작용에 대한 고정점 국소화 공식을 만족함을 증명하며, 동치류 코호몰로지와 보렐-등변 코버지언을 복원하는 린스-확장된 이론을 도입한다.

ABSTRACT

We extend the stable motivic homotopy category of Voevodsky to the class of scalloped algebraic stacks, and show that it admits the formalism of Grothendieck's six operations. Objects in this category represent generalized cohomology theories for stacks like algebraic K-theory, as well as new examples like genuine motivic cohomology and algebraic cobordism. These cohomology theories admit Gysin maps and satisfy homotopy invariance, localization, and Mayer-Vietoris. For example, we deduce that homotopy K-theory satisfies cdh descent on scalloped stacks. We also prove a fixed point localization formula for torus actions. Finally, the construction is contrasted with a "lisse-extended" stable motivic homotopy category, defined for arbitrary stacks: we show for example that lisse-extended motivic cohomology of quotient stacks is computed by the equivariant higher Chow groups of Edidin-Graham, and we also get a good new theory of Borel-equivariant algebraic cobordism. Moreover, the lisse-extended motivic homotopy type is shown to recover all previous constructions of motives of stacks.

연구 동기 및 목표

• 스태블 모티브 호모토플리 범주를 흩어진 대수적 스택의 넓은 범주로 확장하여, 흩어진 대수적 스택을 포함하는 티어드 델리뉴-머펀드 및 몫 스택을 포함한다.
• 이 스택들 위에서 일반화된 코호몰로지 이론에 대해 완전한 여섯 연산 형식을 수립하여, 함자성, 기저 전환, 그리고 투영 공식을 보장한다.
• 대수적 K-이론, 모티브 호모토플리, 대수적 코버지언과 같은 코호몰로지 이론이 호모토피 불변성, 국소화, 마이어-비토리스 성질을 만족함을 증명한다.
• 임의의 스택에 대해 린스-확장된 모티브 호모토플리 범주를 개발하여 등변 초콜릿 군집과 보렐-등변 대수적 코버지언을 복원한다.
• 모티브 호모토플리 이론과 일반화된 코호몰로지 이론에서 토루스 작용에 대한 고정점 국소화 공식을 증명한다.

제안 방법

• 건설은 스터트가 스택으로 가는 매끄러운 스킴 위에서의 비안정 모티브 호모토플리 범주를 사용하며, 이를 안정화하여 스칼로페드 스택에 대한 안정 모티브 호모토플리 범주를 정의한다.
• 컴팩트리케이션과 니스네비치 국소 컴팩트리케이션 가능성을 통해 여섯 연산 — 당김, 보존, 텐서곱, 그리고 그 변형 — 을 정의한다.
• 형식은 해소 성질과 유도된 범주의 컴팩트 생성을 이용하여 함자들의 수반성과 정확성을 보장한다.
• 린스-확장된 이론을 위해 린스-국소적으로 컴팩트리케이션 가능한 사상과 준사영 매끄러운 커버를 따라 칸 확장을 이용해 모티브 스펙트럼을 확장한다.
• 이 이론이 이전의 스택의 모티브를 복원함을 보이며, 비트너 및 다른 이들의 결과를 린스-확장된 모티브 호모토플리 유형을 통해 복원한다.
• 핵심 기술 도구로는 기저 전환과 투영 공식을 위한 벡터 번들 토르스의 사용과, cdh 및 니스네비치 수렴을 통해 코호몰로지 성질을 검증하는 데 응용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 안정 모티브 호모토플리 범주는 스킴과 대수적 공간을 초월하여 넓은 범위의 대수적 스택으로 확장될 수 있는가?
• RQ2 대수적 K-이론과 대수적 코버지언과 같은 일반화된 코호몰로지 이론이 스택에서 호모토플리 불변성과 국소화를 만족하는가?
• RQ3 모티브 설정에서 스택에 대해 토루스 작용에 대한 고정점 국소화 공식이 존재하는가?
• RQ4 린스-확장된 모티브 호모토플리 이론이 등변 초콜릿 군집과 보렐-등변 대수적 코버지언을 복원할 수 있는가?
• RQ5 비상수 안정자를 가진 스택, 예를 들어 몰 스택에서 여섯 연산 형식은 어떻게 행동하는가?

주요 결과

• 안정 모티브 호모토플리 범주는 스칼로페드 대수적 스택으로 확장되며, 기저 전환과 투영 공식을 포함한 완전한 여섯 연산 형식을 지닌다.
• 대수적 K-이론, 모티브 호모토플리, 대수적 코버지언과 같은 일반화된 코호몰로지 이론은 스칼로페드 스택에서 호모토플리 불변성, 국소화, 마이어-비토리스 성질을 만족한다.
• 토루스 작용에 대한 고정점 국소화 공식이 수립되었으며, 고전적 결과를 모티브 설정으로 일반화한다.
• 린스-확장된 모티브 호모토플리 범주는 에디딘-그라함의 등변 고차 초콜릿 군집을 통해 몰 스택의 린스-확장된 모티브 코호몰로지 계산을 가능하게 한다.
• 린스-확장된 모티브 호모토플리 유형은 비트너 및 다른 이들의 이전의 스택 모티브 구성 결과를 표준 비교 동형사상으로 복원한다.
• 보렐-등변 대수적 코버지언은 린스-확장된 형식을 통해 새로운 잘 정의된 이론으로 구성된다.