[논문 리뷰] Generalized Derivations and Rota-Baxter Operators of $n$-ary Hom-Nambu Superalgebras

Sami Mabrouk, Othmen Ncib외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 03. 02.

Advanced Topics in Algebra참고 문헌 74인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 $n$-항 Hom-Nambu 및 Hom-Lie 초대수를 $(n-2)$-코체를 사용하여 일반화하고, 이 맥락에서 일반화된 도약자와 Rota-Baxter 연산자를 도입한다. Rota-Baxter 연산자가 $3$-Hom-pre-Lie 초대수 구조를 유도함을 증명하고, $3$-Hom-Lie 초대수에서 가역 Rota-Baxter 연산자가 존재하는 것과 호환되는 $3$-Hom-pre-Lie 초대수 구조의 존재가 동치임을 보인다.

ABSTRACT

The aim of this paper is to generalise the construction of $n$-ary Hom-Lie bracket by means of an $(n-2)$-cochain of given Hom-Lie algebra to super case inducing a $n$-Hom-Lie superalgebras. We study the notion of generalized derivation and Rota-Baxter operators of $n$-ary Hom-Nambu and $n$-Hom-Lie superalgebras and their relation with generalized derivation and Rota-Baxter operators of Hom-Lie superalgebras. We also introduce the notion of $3$-Hom-pre-Lie superalgebras which is the generalization of $3$-Hom-pre-Lie algebras.

연구 동기 및 목표

• Hom-Lie 초대수의 $(n-2)$-코체로부터 $n$-항 Hom-Lie 초대수의 구성 방법을 일반화하는 것.
• $n$-항 Hom-Nambu 및 $n$-Hom-Lie 초대수에서 일반화된 도약자와 Rota-Baxter 연산자를 연구하는 것.
• $3$-Hom-pre-Lie 초대수를 $3$-Hom-pre-Lie 대수의 일반화로 도입하고 분석하는 것.
• $3$-Hom-Lie 초대수에서 Rota-Baxter 연산자와 호환되는 $3$-Hom-pre-Lie 초대수 구조 사이의 관계를 설정하는 것.
• $3$-Hom-Lie 초대수에서 가역 Rota-Baxter 연산자가 호환되는 $3$-Hom-pre-Lie 초대수 구조를 유도함을 증명하는 것.

제안 방법

• 특정 호환 조건을 만족하는 Hom-Lie 초대수와 $(n-2)$-코체로부터 $n$-항 Hom-Nambu 초대수를 구성하는 것.
• 기초가 되는 Hom-Lie 초대수의 구조를 사용하여 $n$-항 Hom-Nambu 및 $n$-Hom-Lie 초대수에서 일반화된 도약자와 Rota-Baxter 연산자를 정의하는 것.
• Rota-Baxter 연산자 $R$에 대해 공식 $\{x,y,z\} = \mathrm{ad}_{(R(x),R(y))}(z)$를 통해 $3$-Hom-pre-Lie 초대수를 도입하는 것.
• 초대수적 Nambu 항등식과 Rota-Baxter 성질을 사용하여 유도된 괄호가 $3$-Hom-pre-Lie 초대수 공리계를 만족함을 확인하는 것.
• 만약 $R$가 가역 Rota-Baxter 연산자이면, 유도된 괄호 $\{x,y,z\}_{A} = R(\mathrm{ad}_{(R^{-1}(x),R^{-1}(y))}(R^{-1}(z)))$가 호환되는 $3$-Hom-pre-Lie 초대수를 정의함을 증명하는 것.
• 이미지 $R(A)$가 유도된 곱 $\{R(x),R(y),R(z)\}_{R(A)} = R(\{x,y,z\})$를 통해 $3$-Hom-pre-Lie 초대수 구조를 상속함을 검증하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 Hom-Lie 초대수와 $(n-2)$-코체를 사용하여 $n$-항 Hom-Nambu 및 $n$-Hom-Lie 초대수를 구성할 수 있는가?
• RQ2 $n$-항 Hom-Nambu 및 $n$-Hom-Lie 초대수에서 일반화된 도약자와 Rota-Baxter 연산자 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ3 Rota-Baxter 연산자가 $3$-Hom-Lie 초대수에서 $3$-Hom-pre-Lie 초대수 구조를 유도하기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ4 호환되는 $3$-Hom-pre-Lie 초대수 구조와 $3$-Hom-Lie 초대수에서의 가역 Rota-Baxter 연산자 사이에 일대일 대응이 존재하는가?
• RQ5 이미지 $R(A)$에서의 $3$-Hom-pre-Lie 초대수 구조는 원래 $A$의 구조와 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• $n$-항 Hom-Nambu 초대수의 구성은 Hom-Lie 초대수와 $(n-2)$-코체가 특정 호환 조건을 만족할 경우 유효하다.
• $n$-항 Hom-Nambu 및 $n$-Hom-Lie 초대수에서 Rota-Baxter 연산자는 항등식 $R([x,y,z]_C) = [R(x),R(y),R(z)]$를 만족한다.
• Rota-Baxter 연산자가 존재할 경우, $A$에서 유도된 괄호 $\{x,y,z\}_{C}$는 $3$-Hom-pre-Lie 초대수 공리계를 만족한다.
• 이미지 $R(A)$는 유도된 곱 $\{R(x),R(y),R(z)\}_{R(A)} = R(\{x,y,z\})$를 통해 $3$-Hom-pre-Lie 초대수 구조를 상속한다.
• $3$-Hom-Lie 초대수에서 가역 Rota-Baxter 연산자 $R$는 공식 $\{x,y,z\}_{A} = R(\mathrm{ad}_{(R^{-1}(x),R^{-1}(y))}(R^{-1}(z)))$를 통해 호환되는 $3$-Hom-pre-Lie 초대수 구조를 $A$에 유도한다.
• $3$-Hom-Lie 초대수에서 호환되는 $3$-Hom-pre-Lie 초대수 구조의 존재는 그 초대수에서 가역 Rota-Baxter 연산자의 존재와 동치이다.