[논문 리뷰] Generalized Fleming-Viot processes with immigration via stochastic flows of partitions

Clément Foucart|arXiv (Cornell University)|2011. 03. 01.

Stochastic processes and statistical mechanics참고 문헌 22인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 외부 이민자 조상(라벨 0)이 특수한 융합 메커니즘을 통해 포함된, $\mathbb{Z}_+$의 분할에 대한 확률적 흐름을 사용한 이민을 고려한 일반화된 플링엄-비엇 과정(GFVI)을 제안한다. 주요 기여는 GFVI를 페러렐 프로세스로 특성화하고 초기 유형의 멸종을 위한 충분조건을 제공하는 이중성 기반의 구성 방법으로, 기존의 이중성 프레임워크를 이민과 동시에 다수의 생식을 포함하도록 확장한다.

ABSTRACT

The generalized Fleming-Viot processes were defined in 1999 by Donnelly and Kurtz using a particle model and by Bertoin and Le Gall in 2003 using stochastic flows of bridges. In both methods, the key argument used to characterize these processes is the duality between these processes and exchangeable coalescents. A larger class of coalescent processes, called distinguished coalescents, was set up recently to incorporate an immigration phenomenon in the underlying population. The purpose of this article is to define and characterize a class of probability-measure valued processes called the generalized Fleming-Viot processes with immigration. We consider some stochastic flows of partitions of Z_{+}, in the same spirit as Bertoin and Le Gall's flows, replacing roughly speaking, composition of bridges by coagulation of partitions. Identifying at any time a population with the integers $\mathbb{N}:=\{1,2,...\}$, the formalism of partitions is effective in the past as well as in the future especially when there are several simultaneous births. We show how a stochastic population may be directly embedded in the dual flow. An extra individual 0 will be viewed as an external generic immigrant ancestor, with a distinguished type, whose progeny represents the immigrants. The "modified" lookdown construction of Donnelly-Kurtz is recovered when no simultaneous multiple births nor immigration are taken into account. In the last part of the paper we give a sufficient criterion for the initial types extinction.

연구 동기 및 목표

• 플링엄-비엇 과정의 이중성 프레임워크를 이민과 동시에 다수의 복제 사건을 포함하도록 확장하기 위해.
• 외부 이민자 조상(0으로 라벨링됨)을 포함한 $\mathbb{Z}_+$에서의 분할에 대한 확률적 흐름을 사용하여 이민이 있는 측도 값 과정의 클래스를 정의하기 위해.
• 이민과 다수의 생식이 없는 경우 도널리와 커티스의 수정 룩다운 구성이 특수한 경우로 복원됨을 보여주기 위해.
• 이민이 있는 일반화된 플링엄-비엇 과정의 페러렐 성질을 확립하고, 이중성에 의해 그 생성자를 결정하기 위해.
• 즉, 유전자 풀에서 초기 유형이 멸종하는 조건, 즉 유일하게 지속되는 것은 이민자 계통임을 보여주기 위해.

제안 방법

• 구성은 $\mathbb{Z}_+$에서의 분할에 대한 확률적 흐름 $\Pi(s,t)$를 사용하며, 다중 융합과 이민을 동시에 표현하기 위해 다리의 병합 대신 융합을 사용한다.
• 역행하는 전진 과정 $\hat{\Pi}(t) = \Pi(-t,0)$는 시간이 흐름에 따라 인구를 모델링하며, $\hat{\Pi}_i(t)$는 개인 $i \geq 1$의 후손을, $\hat{\Pi}_0(t)$는 이민자 조상의 후손을 나타낸다.
• 개인들에게 유형을 할당: 이민자에 대해 $U_0 = 0$, $i \geq 1$에 대해 $U_i$를 할당하며, 교환 가능성으로 인해 빈도의 일致한 극한이 보장된다.
• 일반화된 플링엄-비엇 과정 $Z_t$는 $\hat{\Pi}(t)$에서의 유형의 경험 측도로 정의되며, 드 파르티니의 정리와 페aintbox 구성에 의해 수렴성을 분석한다.
• $Z_t$의 생성자는 특수한 교환 가능한 융합과의 이중성에 의해 유도되며, 이로써 $Z_t$가 확률 측도 공간에서 페러렐 과정임을 보여준다.
• 시간이 흐름에 따라 분할 블록과 그 유형 빈도의 점근적 행동을 분석함으로써 초기 유형 멸종을 위한 충분조건가 유도된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 이중성 기반의 일반화된 플링엄-비엇 과정을 이민을 포함하면서도 융합 과정과의 이중성을 유지할 수 있는가?
• RQ2 특수한 분할 흐름이 동시에 다수의 생식과 이민을 통합된 확률적 프레임워크에서 어떻게 기능하는가?
• RQ3 외부 이민자 조상(라벨 0)의 포함이 인구 내 유형 빈도의 장기적 행동에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 어떤 조건에서 초기 유형 분포가 장기적으로 소멸하는가, 즉 유일하게 지속되는 것은 이민자 계통일 때는 언제인가?
• RQ5 도널리와 커티스의 수정 룩다운 구성은 이 광범위한 확률적 흐름 프레임워크 내에서 특수한 경우로 복원될 수 있는가?

주요 결과

• 이민이 있는 일반화된 플링엄-비엇 과정(GFVI)이 페러렐 과정임이 입증되었으며, 이는 강한 마르코프성과 페러렐 연속성 성질을 보장한다.
• 특수한 교환 가능한 융합과의 이중성에 의해 GFVI의 생성자가 명시적으로 결정되었으며, 이는 무한소 특성의 완전한 기술을 제공한다.
• 전진 분할 과정에서의 유형 경험 측도는 페aintbox의 구조를 포함하는 극한 측도로 거의 확실히 수렴한다: $(1 - \sum_{i \geq 0} |\pi_i|)\rho + |\pi_0|\delta_0 + \sum_{i \geq 1} |\pi_i|\delta_{U_i}$, 여기서 $\rho$는 $[0,1]$ 위의 균일 측도이다.
• 초기 유형 멸종 조건은 $\sum_{i \geq 1} |\pi_i| \to 0$ 거의 확실히 성립하는 것으로 도출되었으며, 이는 비이민자 블록의 총 질량이 극한에서 사라질 때 발생한다.
• 이론 모델은 이민과 다수의 생식이 없는 경우 도널리와 커티스의 수정 룩다운 구성으로 복원되며, 이는 이전 연구와의 일致성을 검증한다.
• 분할에 대한 포아송 랜덤 측도의 사용은 다중 융합과 이민을 통합된 프레임워크에서 동시에 가능하게 하여 확률적 흐름의 구성에 기여한다.