[논문 리뷰] Generalized Haah Codes and Fracton Models

Kevin Tian, Zhenghan Wang|arXiv (Cornell University)|2019. 02. 12.

Quantum many-body systems참고 문헌 3인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 유한군 위에서 프랙탈 입자 모형을 위한 일반화된 안정자 코드 프레임워크를 제안하며, Haah A- 및 B-코드를 유한군 $G$의 다중부분집합과 $q \times q$ 이진 행렬을 사용하여 각 위치당 $2q$ 큿비트로 확장한다. 이 구성은 국소적이고 안정자 해밀토니안을 생성하며, 이는 비정상적인 anyonic 진동자와 비자명한 위상적 degeneracy를 갖는다. 이는 기존의 프랙탈 모형을 일반화하면서도, 얽힘 재정렬 그룹 흐름 행동과 같은 핵심 특성을 유지한다.

ABSTRACT

Entanglement renormalization group flow of the Haah cubic code produces another fracton model with 4 qubits per lattice site, dubbed as the Haah B-code. We provide a schema that generalizes both models to stabilizer codes on any finite group with 2q qubits per site and labeled by multi-subsets of the finite group and a symmetric binary matrix.

연구 동기 및 목표

• 모든 $q \geq 1$ 에 대해 Haah A-코드와 B-코드를 각 위치당 $2q$ 큿비트를 갖는 더 넓은 안정자 코드의 범주로 일반화하기.
• 원래의 입방체 코드의 안정자 구조를 유한군 $G$로 일반화하기 위해 $G$의 다중부분집합과 $\mathbb{F}_2$-행렬을 사용하기.
• 원래 모델의 프랙탈 성질과 부분차원 진동자를 유지하는 $L(G, 2q)$ 힐베르트 공간 위의 국소 해밀토니안을 구성하기.
• 일반화된 모델에서 공진적 degeneracy 스케일링과 비자명한 얽힘 재정렬 그룹(ERG) 흐름 가능성을 탐색하기.
• Haah 코드와 그 촌스터인 Haah B-코드를 일반화하는 유한군 위에서 안정자 코드를 체계적으로 구성하는 프레임워크 제공하기.

제안 방법

• 각 군 원소 $g \in G$ 당 $2q$ 큿비트를 갖는 힐베르트 공간 $L(G, 2q)$ 정의하며, 인덱스는 $+1,\dots,+q$ 와 $-1,\dots,-q$ 로 표기한다.
• 두 가닥의 $q$ 개 부분집합 $A = \{A_i\}, B = \{B_j\}$ 와 $\mathbb{F}_2$ 위의 $q \times q$ 행렬 $C$ 를 사용해 $X$ 와 $Z$ 안정자 구성한다.
• $Z^C_g = \prod_{k=1}^q Z_{(g(CA)_k, +k)} Z_{((C^T B)_k g, -k)}$ 와 $X^C_g = \prod_{k=1}^q X_{(\overline{(C^T B)_k} g, +k)} X_{(g \overline{(CA)_k}, -k)}$ 정의한다.
• 역원을 포함하는 부분집합 $L, R \subset G$ 를 사용해 $G$ 위에 LR 단어 거리 측도 도입하며, 거리 $d(g,h)$ 는 $g$ 와 $h$ 를 연결하는 최소의 왼쪽 및 오른쪽 곱셈의 수로 정의한다.
• 결과 해밀토니안이 이 거리 측도 하에서 반지름 1의 공 내에 지지됨을 증명하여 국소성 확보한다.
• 파울리 연산자를 $d$-차원 시계 및 이동 연산자 $U, V$ 로 대체하여 큸디트 시스템으로 일반화하며, $UV = \omega_d VU$ 를 만족하고 $\omega_d = e^{2\pi i/d}$ 이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 Haah A- 및 B-코드를 임의의 $q \geq 1$ 에 대해 각 위치당 $2q$ 큿비트를 갖는 모형으로 일반화할 수 있는가?
• RQ2 유한군 $G$ 와 $G$ 의 다중부분집합이 프랙탈 성질을 갖는 안정자 코드를 구성하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 $G$ 에 대한 수정된 단어 거리 측도 하에서 일반화된 해밀토니안의 국소성이 유지될 수 있는가?
• RQ4 일반화된 모델에서 위상적 degeneracy 의 성격은 어떠하며, 공진적 척도 효과가 그것에 영향을 미치는가?
• RQ5 일반화된 모델은 원래 Haah 코드에서 관찰된 얽힘 재정렬 그룹(ERG) 흐름 행동을 계승하는가?

주요 결과

• 일반화된 안정자 코드는 각 위치당 $2q$ 큿비트를 사용하며, 이중층 구도에서 $q$ 개는 '상단'으로, $q$ 개는 '하단'으로 표기된다.
• $X$ 와 $Z$ 안정자는 군 원소의 $\mathbb{F}_2$-선형 조합을 통해 정의되며, $Z^C_g$ 와 $X^C_g$ 는 각각 왼쪽-곱셈 집합과 오른쪽-곱셈 집합을 통해 상단 및 하단 큿비트에 작용한다.
• 결과 해밀토니안은 LR 단어 거리 측도 하에서 국소적이며 반지름 1의 공 내에 지지되어 있어 물리적 실현 가능성을 보장한다.
• 일반화된 해밀토니안은 $q=1$ 일 때 LR 코드로 축소되며, $q=2$ 일 때 적절한 $A_i, B_j, C$ 선택으로 Haah A- 및 B-코드를 복원한다.
• 일반화된 모델에서 격자 크기가 부분군의 구조와 일치할 경우, LR 코드와의 유사성에 기반해 공진적 스케일링 패턴이 나타날 수 있다.
• 초기 수치적 증거는 원래 Haah 모델의 탈양성 단위변환자가 일반화되지 않는다는 것을 시사하며, 이는 원래 코드가 ERG 흐름에서 특별한 역할을 한다는 것을 시사한다.