[논문 리뷰] Generalized inverses and polar decomposition of unbounded regular operators on Hilbert $C^*$-modules

Michael Frank, Kamran Sharifi|arXiv (Cornell University)|2008. 06. 01.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 12인용 수 24

한 줄 요약

이 논문은 임의의 $C^*$-대수 위의 힐버트 $C^*$-모듈러스 위의 유계가 아닌 정규 연산자가 펄라 분해를 갖는다 하는 것과 그 범위 및 그 절댓값의 범위의 폐포가 수직보완된다는 것 사이의 필요충분조건을 규명한다. 이는 연산자와 그 수반 연산자가 모두 유계가 아닌 정규 일반화 역행렬을 갖는 것과 동치이며, 핵심 기여는 모든 조밀하게 정의된 닫힌 연산자가 펄라 분해 또는 일반화 역행렬을 갖는 $C^*$-대수의 특성화이다. 즉, 컴팩트 연산자들의 $C^*$-대수가 정확히 그 성질을 갖는 대수임을 규명한다.

ABSTRACT

In this note we show that an unbounded regular operator $t$ on Hilbert $C^*$-modules over an arbitrary $C^*$ algebra $ \mathcal{A}$ has polar decomposition if and only if the closures of the ranges of $t$ and $|t|$ are orthogonally complemented, if and only if the operators $t$ and $t^*$ have unbounded regular generalized inverses. For a given $C^*$-algebra $ \mathcal{A}$ any densely defined $\mathcal A$-linear closed operator $t$ between Hilbert $C^*$-modules has polar decomposition, if and only if any densely defined $\mathcal A$-linear closed operator $t$ between Hilbert $C^*$-modules has generalized inverse, if and only if $\mathcal A$ is a $C^*$-algebra of compact operators.

연구 동기 및 목표

• 유계가 아닌 정규 연산자가 힐버트 $C^*$-모듈러스 위에서 펄라 분해를 갖는 데 필요한 필요충분조건을 규명하는 것.
• 일반화 역행렬의 존재성과 기저가 되는 $C^*$-대수의 구조적 성질 간의 관계를 조사하는 것.
• 모든 조밀하게 정의된 닫힌 연산자가 펄라 분해 또는 일반화 역행렬을 갖는 $C^*$-대수를 특성화하는 것.
• 기존 힐버트 공간에서의 펄라 분해 및 일반화 역행렬 결과를 임의의 $C^*$-대수 위의 힐버트 $C^*$-모듈러스로의 일반화하는 것.

제안 방법

• 저자들은 연산자 $t$의 펄라 분해를 분석함에 있어, $\operatorname{Ran}(t)$ 및 $\operatorname{Ran}(|t|)$의 폐포가 수직보완된다는 성질을 검토한다. 여기서 $|t| = (t^*t)^{1/2}$이다.
• 연산자 $t$가 펄라 분해를 갖는 것은 $t$와 그 수반 연산자 $t^*$가 모두 유계가 아닌 정규 일반화 역행렬을 갖는 것과 동치임을 증명한다.
• 이 증명은 특히 닫힌 부분모듈러스가 수직보완된다는 성질을 갖는 힐버트 $C^*$-모듈러스의 성질을 통해 컴팩트 연산자들의 $C^*$-대수의 특성화에 기반한다.
• 저자들은 $\mathcal{A}^{**}$의 열린 프로젝션과 멀티플라이어 대수의 이론을 포함한 $C^*$-대수 이론의 결과를 활용하여, 모듈러스의 구조적 성질을 $\mathcal{A}$의 대수적 조건과 연결한다.
• 유계 일반화 역행렬에 대한 기존 결과(예: 유계 수반 가능 연산자가 유계 일반화 역행렬을 갖는 것은 그 범위가 닫혀 있을 때에 한하여)를 정규화와 쌍대성에 의해 비유계 경우로 확장한다.
• 정규 연산자 이론과 힐버트 $C^*$-모듈러스에서의 닫힌 범위 조건을 활용하여, 펄라 분해의 존재성과 일반화 역행렬의 존재성 간의 동치성을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 힐버트 $C^*$-모듈러스 위의 유계가 아닌 정규 연산자가 언제 펄라 분해를 갖는가?
• RQ2 일반화 역행렬의 존재성과 $t$ 및 $|t|$의 범위의 폐포가 수직보완된다는 성질 간의 관계는 무엇인가?
• RQ3 어떤 $C^*$-대수 $\mathcal{A}$에 대해 힐버트 $\mathcal{A}$-모듈러스 간의 모든 조밀하게 정의된 닫힌 연산자가 펄라 분해를 갖는가?
• RQ4 $C^*$-대수 $\mathcal{A}$의 성질, 예를 들어 컴팩트 연산자들의 $C^*$-대수인가의 여부가 일반화 역행렬과 펄라 분해의 존재성에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ5 힐버트 $C^*$-모듈러스에 대해 어떤 구조적 조건이 모든 닫힌 부분모듈러스가 수직합성분이 되도록 보장하는가?

주요 결과

• 힐버트 $C^*$-모듈러스 위의 유계가 아닌 정규 연산자 $t$는 $\operatorname{Ran}(t)$ 및 $\operatorname{Ran}(|t|)$의 폐포가 수직보완된다는 것과 동치로 펄라 분해를 갖는다.
• $t$의 펄라 분해 존재성은 $t$와 그 수반 연산자 $t^*$가 모두 유계가 아닌 정규 일반화 역행렬을 갖는 것과 동치이다.
• 모든 조밀하게 정의된 닫힌 연산자가 힐버트 $C^*$-모듈러스 간에 펄라 분해를 갖는 것은 기저가 되는 $C^*$-대수 $\mathcal{A}$가 컴팩트 연산자들의 $C^*$-대수일 때에 한하여 성립한다.
• 동일한 조건은 모든 이러한 연산자가 일반화 역행렬을 갖는다는 것을 보장한다.
• $C^*$-대수 $\mathcal{A}$가 컴팩트 연산자들의 $C^*$-대수임은 임의의 힐버트 $\mathcal{A}$-모듈러스의 모든 닫힌 부분모듈러스가 수직보완된다는 것과 동치이다.
• 기존 힐버트 공간에서의 사실들을 일반적인 힐버트 $C^*$-모듈러스의 맥락으로 확장하였으며, 일부 결과는 힐버트 공간의 경우에도 새로운 것으로 밝혀졌다.