[논문 리뷰] Generalized Planar Tur\'an Numbers

Ervin Győri, Addisu Paulos외 3명|arXiv (Cornell University)|2020. 02. 11.

Limits and Structures in Graph Theory참고 문헌 31인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 일반화된 평면 투란 수를 조사하며, 특정한 짝수 사이클을 배제하는 평면 그래프에서 고정된 트리 또는 사이클의 복제 수를 최대화하는 데 초점을 맞춘다. 이러한 극값 수의 점근적 순서를 규명하여, 임의의 고정된 트리 $T$에 대해 $C_{2\ell}$-자유 평면 그래프에서의 복제 수가 $\Theta(n)$임을 증명하고, $C_4$-자유 평면 그래프에서 5-사이클에 대한 정확한 결과를 제시한다.

ABSTRACT

In a generalized Tur\\'an problem, we are given graphs $H$ and $F$ and seek to maximize the number of copies of $H$ in an $F$-free graph of order $n$. We consider generalized Tur\\'an problems where the host graph is planar. In particular we obtain the order of magnitude of the maximum number of copies of a fixed tree in a planar graph containing no even cycle of length at most $2\\ell$, for all $\\ell$, $\\ell \\geq 1$. We obtain the order of magnitude of the maximum number of cycles of a given length in a planar $C_4$-free graph. An exact result is given for the maximum number of $5$-cycles in a $C_4$-free planar graph. Multiple conjectures are also introduced.

연구 동기 및 목표

• 임의의 $\ell \geq 1$에 대해, 길이가 $2\ell$ 이하인 짝수 사이클을 포함하지 않는 평면 그래프에서 고정된 트리의 복제 수의 최대값을 결정하는 것.
• 고정된 $t$에 대해, $C_4$-자유 평면 그래프에서 $t$-사이클의 수의 순서를 규명하는 것.
• $C_4$-자유 평면 그래프에서 5-사이클의 최대 수를 정확하게 특성화하는 것.
• 에프스타인의 추측의 제한된 버전을 평면 그래프의 극값 수에 대해 검증하여, 트리에 대해 극값 함수가 어떤 $k$에 대해 $\Theta(n^k)$임을 보이는 것.
• 다양한 그래프 가족에 대해 일반화된 평면 투란 수에 대한 여러 추측을 제안하고 탐색하는 것.

제안 방법

• 일반화된 평면 투란 함수 $\operatorname{ex}_{\mathcal{P}}(n,H,F)$를 정의하여, $n$개 정점의 평면 그래프에서 $F$를 부분그래프로 포함하지 않는 조건 하에 $H$의 복제 수의 최댓값을 구한다.
• 도우의 차수 3 이상인 정점과 차수 2인 정점으로 구성된 경로 숲 $F$에 의해 트리의 구조적 분해를 수행하여, 임bedding 문제를 유한 차수의 부분그래프로 환원한다.
• 트리 $T$를 $C_{2\ell}$-자유 평면 그래프에 임베딩하는 방법 수가 핵심 부분그래프 $F$의 임베딩에만 의존하고, 각 정점에 대해 유한한 선택지가 있음을 보여주는 감소 추론을 적용한다.
• 특히 $C_{2\ell}$-자유 평면 그래프에서는 고차수 정점으로부터 거리 $\ell$ 이내에 있는 정점들의 임베딩 가능성이 제한되어 있어 총 복제 수가 $O(n)$이 됨을 보장한다.
• extremal 그래프 이론 도구를 활용하여, $C_4$-자유 평면 그래프에서의 차수 합의 경계(헤인드리에 의해 언급됨)를 이용해 사이클 수를 제어한다.
• 정리 7.1을 적용하여 $A_{2}''$에 속하는 정점들의 유효한 임베딩 수를 제한하여, 각 구성에 대해 상수 개의 선택지만 존재함을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고정된 트리에 대해, 길이가 $2\ell$ 이하인 짝수 사이클을 포함하지 않는 평면 그래프에서 복제 수의 점근적 순서는 무엇인가요?
• RQ2 고정된 $t$에 대해, $C_4$-자유 평면 그래프에서 $t$-사이클의 최대 수는 얼마인가요?
• RQ3 고정된 $C_4$-자유 평면 그래프에서 5-사이클의 최대 수는 정확히 얼마인가요?
• RQ4 모든 고정된 그래프 $H$에 대해, 일반화된 평면 투란 함수 $\operatorname{ex}_{\mathcal{P}}(n,H,\emptyset)$는 $n$에 대한 다항식으로 성장하는가요?
• RQ5 트리의 임베딩에 대해 $C_{2\ell}$-자유 평면 그래프에서의 극값 함수는 $O(n)$으로 유계일 수 있으며, 만약 그렇다면 어떤 구조적 조건에서 성립하는가요?

주요 결과

• 임의의 고정된 트리 $T$에 대해, 길이가 $2\ell$ 이하인 짝수 사이클을 포함하지 않는 평면 그래프에서 $T$의 복제 수는 $\Theta(n)$이며, 이는 순서의 크기를 규명한 것이다.
• 모든 고정된 $t \geq 3$에 대해, $C_4$-자유 평면 그래프에서 $t$-사이클의 최대 수는 $\Theta(n)$이며, 상수는 $t$에 따라 달라진다.
• $C_4$-자유 평면 그래프에서 5-사이클의 최대 수는 정확히 $n - 3$이며, 이는 정확한 극값 결과를 제공한다.
• 저자들은 트리에 대해 에프스타인의 추측의 제한된 버전을 검증하여, $\operatorname{ex}_{\mathcal{P}}(n,T,\emptyset) = \Theta(n^k)$ ($k \geq 1$)임을 보였으며, 모든 트리에 대해 $k=1$임을 확인하였다.
• 트리 $T$를 $C_{2\ell}$-자유 평면 그래프에 임베딩할 수 있는 유효한 방법 수는 고차수 정점으로부터 거리 $\ell$ 이내에 있는 정점들의 선택지가 제한되어 있어, $n$의 상수배로 유계이다.
• 차수 3 이상인 정점들과 $A_2''$에 속하지 않는 차수 2인 정점들로 이루어진 핵심 부분그래프 $F$는 극값 수의 계산에 핵심적인 구조를 반영하며, $\beta_\ell(F) = \beta_\ell(T)$임을 만족한다.