[논문 리뷰] Generalized theta functions, strange duality, and odd orthogonal bundles on curves

Swarnava Mukhopadhyay, Richard Wentworth|arXiv (Cornell University)|2016. 08. 17.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 62인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 비자명한 스티펠-블라운클래스를 가진 홀수 직교(bundle)의 일반화된 테타 함수에 대해 옥버리-윌슨이 제기한 차원 등식을 증명하고, 버린데 유형의 공식을 수립한다. 휘어진 스핀(bundle)과 헤케 유사 변환을 도입함으로써, 저자들은 평탄한 프로젝티브 히친 접속을 구축하고, 홀수 직교(bundle)에 대해 이상 이중성(strange duality)이 성립하지 않음을 보이며, 스핀 매핑 클래스 군 표현의 기약성에 이르게 한다. 이 작업은 P¹에서 스핀 무게를 가진 conformal block에 대한 랭크-레벨 이중성에 관한 질문을 해결한다.

ABSTRACT

This paper studies spaces of generalized theta functions for odd orthogonal bundles with nontrivial Stiefel-Whitney class and the associated space of twisted spin bundles. In particular, we prove a Verlinde type formula and a dimension equality that was conjectured by Oxbury-Wilson. Modifying Hitchin's argument, we also show that the bundle of generalized theta functions for twisted spin bundles over the moduli space of curves admits a flat projective connection. We furthermore address the issue of strange duality for odd orthogonal bundles, and we demonstrate that the naive conjecture fails in general. A consequence of this is the reducibility of the projective representations of spin mapping class groups arising from the Hitchin connection for these moduli spaces. Finally, we answer a question of Nakanishi-Tsuchiya about rank-level duality for conformal blocks on the pointed projective line with spin weights.

연구 동기 및 목표

• 비자명한 스티펠-블라운클래스를 가진 홀수 직교(bundle)의 일반화된 테타 함수에 대해 옥버리-윌슨이 제기한 버린데 유형의 공식과 차원 등식을 증명한다.
• 곡선의 모듈리 공간 위에서 휘어진 스핀(bundle)에 대한 일반화된 테타 함수의 번들에 평탄한 프로젝티브 히친 접속을 구축한다.
• 홀수 직교(bundle)에 대한 이상 이중성을 조사하고, 난이도 있는 추측이 성립하지 않음을 보이며, 스핀 매핑 클래스 군의 프로젝티브 표현의 기약성을 이끌어낸다.
• 나카니시-쓰치야가 제기한 P¹에서 스핀 무게를 가진 conformal block에 대한 랭크-레벨 이중성에 관한 질문을 해결한다.
• 편향된 스핀 모듈리 스택 위에서 일반화된 테타 함수 공간과 so(2r+1)의 수준 ℓ에서의 conformal block 사이에 자연스러운 동형사상을 수립한다.

제안 방법

• 베유비-라즈로-소르거의 통일화 정리로부터, 비자명한 스핀어 노름을 가진 모듈리 스택 M⁻_Spin(2r+1)으로서 휘어진 스핀(bundle)을 도입한다.
• M⁻_Spin(m) 위에 파프안 선 번들 P를 정의하고, H⁰(M⁻_Spin(m), P^ℓ) ≅ V*_{ℓω₁}(P¹, so(m), ℓ)를 증명하여 conformal block과 연결한다.
• 클리포드 번들 위에서 MSO(m)의 성분을 교환하는 헤케 유사 기본 변환(ι-변환)을 구성하고, MSpin(m)과 M⁻_Spin(m)을 연결한다.
• ι-변환을 사용하여 일반화된 테타 함수와 conformal block 사이의 동형사상에 대한 별도의 증명을 제공한다.
• TUY (KZ) 접속을 적용하여 일반화된 테타 함수 번들이 평탄한 프로젝티브 접속을 가짐을 보인다.
• 무한차원 클리포드 대수에서의 명시적 계산을 통해 행렬 원소를 평가하고, 행렬식이 0이 되는 것으로 이상 이중성의 실패를 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 옥버리-윌슨이 제기한 바에 따르면, 비자명한 스티펠-블라운클래스를 가진 홀수 직교(bundle)의 일반화된 테타 함수에 대해 버린데 유형의 공식이 성립하는가?
• RQ2 곡선의 모듈리 공간 위에서 휘어진 스핀(bundle)에 대한 일반화된 테타 함수 번들에 평탄한 프로젝티브 히친 접속을 구축할 수 있는가?
• RQ3 홀수 직교(bundle)에 대해 이상 이중성이 성립하는가, 아니면 성분의 구조와 스핀어 노름으로 인해 난이도 있는 추측이 실패하는가?
• RQ4 나카니시-쓰치야가 제기한 P¹에서 스핀 무게를 가진 conformal block에 대한 랭크-레벨 이중성이 존재하는가?
• RQ5 클리포드 번들의 헤케 유사 변환을 통해 일반화된 테타 함수와 conformal block 사이의 동형사상을 수립할 수 있는가?

주요 결과

• H⁰(M⁻_Spin(2r+1), P^ℓ)의 차원은 버린데 공식으로 주어지며, 옥버리-윌슨의 추측을 확인한다.
• dim H⁰(M₂ᵣ₊₁, P^(2s+1)) = dim H⁰(M₂ₛ₊₁, P^(2r+1))가 성립하며, 여기서 M₂ᵣ₊₁ = MSpin(2r+1) ⊔ M⁻_Spin(2r+1)이다.
• 홀수 직교(bundle)에 대한 이상 이중성 사상은 일반적으로 실패하며, 이는 히친 접속으로부터 유도된 스핀 매핑 클래스 군의 프로젝티브 표현이 기약성이 아님을 의미한다.
• H⁰(M⁻_Spin(m), P^ℓ)는 자연스럽게 conformal block 공간 V*_{ℓω₁}(P¹, so(m), ℓ)와 동형이며, 이는 버린데 동형사상을 휘어진 경우로 확장한다.
• 클리포드 대수에서의 명시적 계산은 이상 이중성 행렬의 행렬식이 0임을 보이며, 특정한 무게 쌍에 대해 동형사상의 실패를 증명한다.
• R(B₀¹)의 최고 무게 벡터 위에 작용할 때, 중복도를 가진 항들의 합이 되며, 항 ϕ₁,₀(−½)⋯ϕₖ,₀(−½)는 계수 k!로 나타난다.