[논문 리뷰] Genericity of contracting elements in groups

Wenyuan Yang|arXiv (Cornell University)|2017. 07. 19.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 30인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 통계적 볼록 코컴팩트(Statistically Convex-Cocompact, SCC) 군 작용에서 계수 측도에 대해 수축 요소들이 지수적으로 일반적임을 입증한다. 순수 지수 성장 조건 하에서, 비수축 요소들의 집합은 성장에 대해 무시할 만큼 작으며, 이는 수축 요소들이 점점 더 지배적이 된다는 것을 의미한다. 주요 결과로는 상대적으로 쌍곡군, 랭크-1 원소를 가진 CAT(0) 군, 그리고 순수 지수 부분군을 가진 매핑 클래스 군에서의 지수적 일반성이다.

ABSTRACT

In this paper, we establish that, for statistically convex-cocompact actions, contracting elements are exponentially generic in counting measure. Among others, the following exponential genericity results are obtained as corollaries for the set of hyperbolic elements in relatively hyperbolic groups, the set of rank-1 elements in CAT(0) groups, and the set of pseudo-Anosov elements in mapping class groups. Regarding a proper action, the set of non-contracting elements is proven to be growth-negligible. In particular, for mapping class groups, the set of pseudo-Anosov elements is generic in a sufficiently large subgroup, provided that the subgroup has purely exponential growth. By Roblin's work, we obtain that the set of hyperbolic elements is generic in any discrete group action on CAT(-1) space with finite BMS measure. Applications to the number of conjugacy classes of non-contracting elements are given for non-rank-1 geodesics in CAT(0) groups with rank-1 elements.

연구 동기 및 목표

• 수축 요소가 계수 측도에서 수축 요소를 가진 군 작용에서 일반적인가를 판단하는 것.
• 통계적 볼록 코컴팩트(Statistically Convex-Cocompact, SCC) 작용 하에서 수축 요소의 지수적 일반성을 확립하는 것.
• 적절하거나 SCC 작용 하에서 비수축 요소들의 집합이 성장에 대해 무시할 만하거나 성장이 엄격한지 증명하는 것.
• 상대적으로 쌍곡군, 랭크-1 원소를 가진 CAT(0) 군, 매핑 클래스 군 등의 특정 군류에 일반성 결과를 확장하는 것.
• CAT(0) 군에서 비수축 요소들의 공轭류에 결과를 적용하는 것.

제안 방법

• 성장률을 측정하기 위해 임계 지수 ω(Γ)를 limsup((log |N(o,n) ∩ Γ|)/n)로 정의한다.
• 성장에 대해 무시할 만한 (o(exp(ω(G)n))) 및 성장이 엄격한 (ω(X) < ω(G)) 부분집합을 사용하여 일반성의 정도를 정량화한다.
• 이전 연구에서 SCC 작용이 순수 지수 성장을 가지며, 장벽이 없는 집합이 성장이 엄격하다는 결과를 활용한다.
• 공간의 준수트리에서 사영 기법을 적용하고, 수축 성질을 이용해 메트릭 볼과의 교차 부분의 사영과 지름을 유계화한다.
• 수축 집합의 교차 부분의 지름 유계성에 기반한 모순 추론을 통해 장벽 존재나 긴 사영을 배제한다.
• 사영 거리의 제어와 축 위에서의 군 작용을 활용해 (ε, Δ, f)-장벽이 없는 요소를 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 SCC 군 작용에서 계수 측도에 대해 수축 요소들이 지수적으로 일반적인가?
• RQ2 순수 지수 성장 조건 하에서 적절한 작용에서 비수축 요소들의 집합은 성장에 대해 무시할 만한가?
• RQ3 순수 지수 부분군을 가진 매핑 클래스 군에서 수축 요소의 지수적 일반성은 성립하는가?
• RQ4 매핑 클래스 군의 충분히 큰 부분군에서 편의-아노소프 요소의 일반성은 성장 조건으로 줄일 수 있는가?
• RQ5 랭크-1 원소를 가진 CAT(0) 군에서 비수축 요소들의 공轭류의 점근적 행동은 어떠한가?

주요 결과

• SCC 작용 하에서, 수축 요소는 지수적으로 일반적이며, 이는 비수축 요소들의 집합이 성장에 대해 무시할 만하기 때문이다.
• 상대적으로 쌍곡군에서, 쌍곡 요소들의 집합은 계수 측도에서 지수적으로 일반적이다.
• 랭크-1 원소를 가진 CAT(0) 군에서, 비수축 요소들의 집합은 성장에 대해 무시할 만하며, 비수축 요소들의 공轭류는 유한 개이다.
• 매핑 클래스 군에서, 충분히 큰 부분군 Γ가 순수 지수 성장을 가진다면, 편의-아노소프 요소들의 집합은 Γ 내에서 일반적이다.
• 유한한 BMS 측도를 가진 이산 군 작용이 CAT(-1) 공간에 대해 작용할 경우, 로블린의 결과에 의해 쌍곡 요소들의 집합은 일반적이다.
• 증명 과정에서, 일부 지오데식 구간이 (ε, Δ, f)-장벽이 없는 것으로 입증되었으며, 이는 수축 집합의 메트릭 이웃의 교차 부분의 지름 유계성에 기반한다.