[논문 리뷰] Geodesic mappings of (pseudo-) Riemannian manifolds preserve the class of differentiability

Irena Hinterleitner, Josef Mikeš|arXiv (Cornell University)|2013. 06. 28.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 11인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 (구-) 리만 다양체 사이의 지측선 사상이 미분 가능성의 근류를 유지함을 증명한다: 만약 $V_n \in C^r$ ($r \geq 1$) 가 $\bar{V}_n \in C^1$ 에 지측선 사상이 가능하다면, $\bar{V}_n \in C^r$ 이다. 또한 비자명한 지측선 사상이 아인슈타인 공간에서 유도될 경우 아인슈타인 성질을 유지하며, 네 차원에서 곡률이 일정하지 않은 경우 이러한 사상은 애핀이며, 만약 스칼라 곡률이 0이 아니면 동차사상이다.

ABSTRACT

In this paper we prove that geodesic mappings of (pseudo-) Riemannian manifolds preserve the class of differentiability \hbox{$(C^r, r\geq1)$}. Also, if the Einstein space $V_n$ admits a non trivial geodesic mapping onto a \hbox{(pseudo-)} Riemannian manifold $\bar V_n\in C^1$, then $\bar V_n$ is an Einstein space. If a four-dimensional Einstein space with non constant curvature globally admits a geodesic mapping onto a (pseudo-) Riemannian manifold $\bar V_4\in C^1$, then the mapping is affine and, moreover, if the scalar curvature is non vanishing, then the mapping is homothetic, i.e. $\bar g={ m const}\cdot g$.

연구 동기 및 목표

• 지측선 사상이 $r \geq 1$ 인 경우에 대해 $C^r$ 미분 가능성 근류를 유지함을 증명함으로써, 이전 결과에서 요구하던 $r \geq 2$ 조건을 넘어서는 것.
• 특히 목표 다류체가 $C^1$ 뿐일 경우 지측선 사상에 의한 정규성 전이를 조사함.
• 지측선 사상이 아인슈타인 공간에서 유도될 때 목표 다류체에서 아인슈타인 성질을 유지하는 조건을 규명함.
• 곡률이 일정하지 않은 네 차원 아인슈타인 공간에서의 지측선 사상의 특성 규명.
• 아인슈타인 공간에 대한 지측선 사상의 기존 결과를 $C^1$ 포함한 낮은 미분 가능성 근류로 일반화함.

제안 방법

• 지측선 좌표계를 사용하여 지측선 사상 하에서 메트릭 성분과 접속 계수의 행동을 분석함.
• 미분방정식의 해법 이론을 적용하여 $C^1$ 에서부터 $C^r$ 으로의 정규성 전이를 확장함.
• 지측선이 유지되는 조건을 통해 지측선 사상의 제어를 위한 편미분방정식계를 유도함.
• 메트릭 성분의 이阶 편미분의 존재성과 연속성을 활용하여 사상의 고차 미분 가능성을 유추함.
• 아인슈타인 공간 메트릭의 해석적 성질을 활용하여 결과의 전역적 타당성을 보장함.
• 지측선 사상 방정식을 적분 및 미분하여 목표 다류체에서 메트릭 성분의 고차 도함수 존재성을 도출함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 지속선 사상이 $C^r$ (구-) 리만 다류체에서 $C^1$ 목표 다류체로 이루어질 경우, 목표 메트릭의 $C^r$ 정규성이 유지되는가?
• RQ2 비자명한 지속선 사상이 아인슈타인 공간에서 유도될 때, 목표 다류체에서 아인슈타인 성질이 유지되는 조건은 무엇인가?
• RQ3 곡률이 일정하지 않은 네 차원 아인슈타인 공간에서의 지속선 사상에 대한 전역 기하적 제약 조건은 무엇인가?
• RQ4 지속선 사상에 대한 정규성 전이 정리가 최소한의 미분 가능성 근류인 $C^1$ 으로 확장 가능한가?
• RQ5 곡률이 일정하지 않은 네 차원 아인슈타인 공간에서의 지속선 사상은 반드시 애핀 또는 동차사상인가?

주요 결과

• 지속선 사상은 미분 가능성 근류를 유지한다: 만약 $V_n \in C^r$ ($r \geq 1$) 가 $\bar{V}_n \in C^1$ 에 지속선 사상이 가능하다면, $\bar{V}_n \in C^r$ 이다.
• 만약 아인슈타인 공간 $V_n$ 이 비자명한 지속선 사상에 의해 $C^1$ (구-) 리만 다류체 $\bar{V}_n$ 에 사상된다면, $\bar{V}_n$ 도 아인슈타인 공간이다.
• 네 차원에서 곡률이 일정하지 않은 아인슈타인 공간이 전역 지속선 사상에 의해 $C^1$ 다류체로 사상된다면, 사상은 애핀이다.
• 추가로 스칼라 곡률이 0이 아니면, 사상은 동차사상이며, 즉 $\bar{g} = \text{const} \cdot g$ 이다.
• 결과는 아인슈타인 공간 메트릭의 해석성과 사상 잠재함수 $\Psi$ 가 실해석적이라는 사실 덕분에 전역적으로 성립한다.
• 증명은 지속선 사상 방정식에서 유도된 목표 다류체에서 메트릭 성분의 이阶 도함수의 존재성과 연속성에 기반한다.