[논문 리뷰] Geometric comparison of phylogenetic trees with different leaf sets

Gillian Grindstaff, Megan Owen|arXiv (Cornell University)|2018. 07. 11.

Genomics and Phylogenetic Studies참고 문헌 19인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 서브트리 구조를 공통의 고차원 트리 공간(BHV 공간)으로 확장함으로써, 다른 叶 집합을 가진 계통수 나무들을 비교하기 위한 기하학적 프레임워크를 제안한다. 이는 호환 가능한 슈퍼트리의 계산과 이론적 확장 영역을 통한 호환성 측정을 가능하게 한다. 주요 기여는 확장 공간의 매개변수화된 이완 조건으로, 이는 비어 있지 않은 교차를 보장하고 $ p_{\alpha} $ 매개변수를 통해 호환성의 정량적 측도를 제공한다.

ABSTRACT

The metric space of phylogenetic trees defined by Billera, Holmes, and Vogtmann, which we refer to as BHV space, provides a natural geometric setting for describing collections of trees on the same set of taxa. However, it is sometimes necessary to analyze collections of trees on non-identical taxa sets (i.e., with different numbers of leaves), and in this context it is not evident how to apply BHV space. Davidson et al. recently approached this problem by describing a combinatorial algorithm extending tree topologies to regions in higher dimensional tree spaces, so that one can quickly compute which topologies contain a given tree as partial data. In this paper, we refine and adapt their algorithm to work for metric trees to give a full characterization of the subspace of extensions of a subtree. We describe how to apply our algorithm to define and search a space of possible supertrees and, for a collection of tree fragments with different leaf sets, to measure their compatibility.

연구 동기 및 목표

• 서로 다른 종 집합을 가진 계통수 나무들을 직접 분석할 수 없는 표준 BHV 트리 공간 방법의 도전 과제를 해결하기 위해.
• 공통의 트리 공간으로 서브트리를 확장하여 거리 측정과 슈퍼트리 구축을 가능하게 하는 기하학적 방법을 개발하기 위해.
• BHV 공간 내에서 서브트리의 가능한 확장의 부분공간을 기하학적으로 특성화하기 위해, 특히 이완된 호환 조건 하에서.
• 다른 叶 집합을 가진 트리 조각 간의 호환성 측도를 $ p_{\alpha} $ 매개변수를 정의하고 계산하기 위해.
• 부분적 또는 손상된 계통수 데이터(예: 누락된 종이 있는 유전자 트리)를 통합된 기하학적 프레임워크 내에서 분석할 수 있도록 하기 위해.

제안 방법

• 이 방법은 $ \mathcal{T}^N $ 에서 $ \mathcal{T}^\mathcal{L} $ 로의 트리 차원 축소 사상 $ \Psi $ 와 그 역상 $ \Psi^{-1} $ 를 사용하여 서브트리를 공통 공간으로 올리는 데 사용된다.
• 확장 영역 $ E_{\mathbf{T}}^N(p_\alpha)_p $ 는 매개변수 $ p_\alpha \in [0,1] $ 를 통해 이완된 호환 조건 하에서 주어진 서브트리를 확장하는 $ \mathcal{T}^N $ 내의 트리 집합으로 정의된다.
• 이완 조건은 간선 길이의 변동을 $ p_\alpha \cdot w_e $ 로 제한하여, 엄격한 호환성이 실패하더라도 확장 영역 간의 교차가 비어 있지 않도록 한다.
• 확장 영역의 교차가 비어 있지 않은 최소 $ p $ 값을 계산하기 위해 선형 프로그램을 설정하며, 이는 $ p_\alpha $ 호환성 매개변수를 제공한다.
• BHV 공간 내의 직각체 분해를 활용하여 조각별 선형 구조를 다루며, 확장 영역의 비어 있지 않음 여부가 직각체별 타당성에 의해 결정됨을 보장한다.
• 이 방법은 기존의 조합 알고리즘을 메트릭 트리에 적응시켜 연속적인 기하학적 호환성 분석이 가능하도록 일반화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 표준 BHV 공간 방법이 동일한 종 집합을 요구하므로, 서로 다른 叶 집합을 가진 계통수 나무들을 기하학적 프레임워크 내에서 어떻게 의미 있게 비교할 수 있는가?
• RQ2 공통된 종 집합을 가진 더 큰 트리 공간으로 서브트리의 모든 가능한 확장의 기하학적 특성은 어떻게 기술할 수 있는가?
• RQ3 엄격한 호환성이 실패하더라도 확장 영역 간의 교차가 비어 있지 않도록 보장하는 이완된 호환 조건을 정의할 수 있는가?
• RQ4 $ p_\alpha $ 매개변수는 효율적으로 어떻게 계산할 수 있으며, 이는 엄격한 호환성에서의 거리 편차를 어떻게 표현하는가?
• RQ5 확장 영역의 비어 있지 않음과 기하학적 안정성 측면에서 $ \alpha $-이완과 $ p_\alpha $-이완 간의 관계는 무엇인가?

주요 결과

• $ p_\alpha $ 매개변수는 확장 영역의 교차가 비어 있지 않은 최소 이완 수준으로 정의되며, 선형 프로그램을 통해 계산 가능하다.
• 모든 트리 집합 $ \mathbf{T} $ 에 대해, 확장 영역 $ E_{\mathbf{T}}^N(p_\alpha)_p $ 가 비어 있지 않음은 적어도 하나의 직각체가 타당한 해를 포함할 때이고, 이 경우 $ p_\alpha $ 는 모든 직각체에서의 최소 $ p $ 값과 같다.
• BHV 공간의 원점은 $ p = 1 $ 일 때 이완된 확장 영역에 포함되며, 이는 $ p_{\alpha} \leq 1 $ 일 때 비어 있지 않음을 보장하여 방법이 항상 적용 가능함을 보장한다.
• $ p_{\alpha} < 1 $ 일 때, 원점은 확장 영역에서 제외되어 원래 트리의 기하학적 구조를 유지한다.
• $ p_{\alpha} $ 매개변수는 $[0,1]$ 으로 정규화되며, $ p_{\alpha} = 0 $ 은 엄격한 호환성을, $ p_{\alpha} = 1 $ 은 최대 이완을 의미한다.
• 이 방법은 $ \alpha < \frac{p}{\log_2 N} \cdot \min_{e \in \mathbf{T}} w_e $ 일 때 $ N_\alpha \subset E_{\mathbf{T}}^N(\alpha) \subset E_{\mathbf{T}}^N(p)_p $ 를 만족하여 두 이완 체계 간의 관계를 연결한다.