[논문 리뷰] Geometric extension of put-call symmetry in the multiasset setting

Ilya Molchanov, Michael Schmutz|ArXiv.org|2008. 06. 27.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 20인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 기하 확률을 사용하여 다자산 옵션으로의 Put-Call 대칭을 확장하며, 자산 수익률 분포를 표현하기 위해 리프트 존로이드를 도입한다. 자기 쌍대 분포가 거듭제곱 변환 하에서 존재할 경우, 다자산 바리어 및 바스켓 옵션의 반정적 헤지 전략을 수립할 수 있으며, 주요 결과로는 리플렉션과 스케일링에 의한 대칭성이 레비 기반 모델에서 옵션 가격 정책 관계를 유지함을 보여준다.

ABSTRACT

In this paper we show how to relate European call and put options on multiple assets to certain convex bodies called lift zonoids. Based on this, geometric properties can be translated into economic statements and vice versa. For instance, the European call-put parity corresponds to the central symmetry property, while the concept of dual markets can be explained by reflection with respect to a plane. It is known that the classical univariate log-normal model belongs to a large class of distributions with an extra property, analytically known as put-call symmetry. The geometric interpretation of this symmetry property motivates a natural multivariate extension. The financial meaning of this extension is explained, the asset price distributions that have this property are characterised and their further properties explored. It is also shown how to relate some multivariate asymmetric distributions to symmetric ones by a power transformation that is useful to adjust for carrying costs. A particular attention is devoted to the case of asset prices driven by Lévy processes. Based on this, semi-static hedging techniques for multiasset barrier options are suggested.

연구 동기 및 목표

• 기하 확률 및 볼록 기하학을 활용하여 단변량 Put-Call 대칭을 다자산 파생상품으로 일반화하는 것.
• 거듭제곱 변환 하에서 자기 쌍대 분포의 개념을 통해 Put-Call 대칭을 갖는 다변량 분포를 특성화하는 것.
• 기하 대칭성을 활용하여 다자산 바리어 및 바스켓 옵션에 대한 반정적 헤지 전략을 개발하는 것.
• 리프트 존로이드를 통해 금융 옵션 가격 정책을 볼록체 이론과 연결하여 금융 파생상품의 기하학적 해석을 가능하게 하는 것.

제안 방법

• 다자산 수익률 η의 분포를 기하학적으로 표현하기 위해 랜덤 벡터 (1, η)의 기대 지지 함수를 사용하는 리프트 존로이드를 사용한다.
• 옵션 만기 지급액을 볼록체의 지지 함수와 연결하기 위해 스토프로스 변환을 적용한다.
• 거듭제곱 변환을 통한 반사 및 스케일링 변환을 활용하여 다자산 환경에서 Put-Call 대칭을 유지하는 자기 쌍대 분포를 식별한다.
• 조건 (6.1)이 α ≠ 1일 때 성립할 경우 대칭성을 이용하여 표준 옵션의 조합을 통해 복제가 가능하므로 반정적 헤지 전략을 유도한다.
• 랜덤 집합의 아우만 기대값을 사용하여 리프트 존로이드를 정의하며, 이는 η의 분포를 유일하게 특성화한다.
• 조건 (6.1)이 α₁ 및 α₂에 대해 성립할 경우, 헤지 전략을 변형하여 변환된 스프레드 옵션에 대한 장위치와 그 쌍대에 대한 단위치로 전환할 수 있다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기하학적 및 확률적 도구를 사용하여 단변량 경우의 Put-Call 대칭을 어떻게 다자산 옵션으로 일반화할 수 있는가?
• RQ2 어떤 다변량 분포가 Put-Call 대칭의 기하학적 확장을 허용하며, 이를 특성화하는 조건은 무엇인가?
• RQ3 대칭성 특성을 활용하여 다자산 바리어 및 바스켓 옵션에 대한 반정적 헤지 전략을 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ4 레비 과정은 다자산 환경에서 Put-Call 대칭을 유지하거나 확장하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 거듭제곱 변환을 통해 비대칭 다변량 분포를 대칭 분포와 연결할 수 있으며, 이는 헤지 전략에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 랜덤 벡터 η의 리프트 존로이드는 그 분포를 유일하게 결정하며, 이는 다자산 옵션 가격 정책의 기하학적 표현을 가능하게 한다.
• Put-Call 평가와 리프트 존로이드의 중심 대칭성이 대응하며, 쌍대 시장은 초평면에 대한 반사에 의해 발생한다.
• 거듭제곱 변환 하에서 자기 쌍대 분포(예: α ≠ 1일 때 (6.1))는 다자산 환경에서 대칭적인 옵션 가격 정책 및 헤지 전략을 가능하게 한다.
• 노크인 바스켓 옵션에 대한 반정적 헤지 전략은 (S_Ti / H)^{α-1} 곱하기 자산 가격의 선형 조합으로 구성되며, 단위치는 그대로 유지된다.
• 바리어 옵션의 경우, 장벽에 도달할 때 동적으로 헤지 전략을 조정할 수 있으며, 대칭성 조건 (6.2)를 활용해 손실 없이 위치를 교환할 수 있다.
• 레비 과정 조건 하에서도, 거듭제곱 변환 조건 (6.1)이 성립할 경우 이 방법은 유효하며, 강력한 헤지 전략을 가능하게 한다.