[논문 리뷰] Geometric representations of graded and rational Cherednik algebras

Alexei Oblomkov, Zhiwei Yun|arXiv (Cornell University)|2014. 07. 21.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 45인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 ℂ*-작용을 지닌 동차 아핀 스프링거 피어의 코homology를 사용하여, 그레이드되고 유리적인 체레드니크 대수의 모듈러스의 기하적 실현을 구축한다. 자동형사상 θ가 자명할 때, 이 구성은 기약 유한차원 구면 모듈러스 Lν(triv)을 얻으며, 이 모듈러스의 차원 공식을 도출하고, 히친 피어의 펄스 필터레이션을 통한 그의 프로베누스 대수적 구조의 기하적 해석을 제공한다.

ABSTRACT

We provide geometric constructions of modules over the graded Cherednik algebra $\mathfrak{H}^{gr}_ν$ and the rational Cherednik algebra $\mathfrak{H}^{rat}_ν$ attached to a simple algebraic group $\mathbb{G}$ together with a pinned automorphism $θ$. These modules are realized on the cohomology of affine Springer fibers (of finite type) that admit $\mathbb{C}^*$-actions. In the rational Cherednik algebra case, the standard grading on these modules is derived from the perverse filtration on the cohomology of affine Springer fibers coming from its global analog: Hitchin fibers. When $θ$ is trivial, we show that our construction gives the irreducible finite-dimensional spherical modules $\mathfrak{L}_ν(triv)$ of $\mathfrak{H}^{gr}_ν$ and of $\mathfrak{H}^{rat}_ν$. We give a formula for the dimension of $\mathfrak{L}_ν(triv)$ and give a geometric interpretation of its Frobenius algebra structure. The rank two cases are studied in further details.

연구 동기 및 목표

• 그레이드되고 유리적인 체레드니크 대수의 모듈러스를 아핀 스프링거 피어의 코homology를 사용하여 기하적으로 구성하는 것.
• 이러한 모듈러스의 표준적 그레이딩이 전역 아날로그인 히친 피어를 통해 펄스 필터레이션과 어떻게 관련되는지 밝혀내는 것.
• 자동형사상 θ가 자명할 경우, 구성이 기약 유한차원 구면 모듈러스 Lν(triv)을 회복하는지 보여주는 것.
• Lν(triv)의 차원 공식을 유도하고, 그의 프로베누스 대수적 구조의 기하적 해석을 제공하는 것.
• 2차 차수의 경우를 상세히 분석하여, 헤세베르그 다양체와 기약 모듈러스의 명시적 계산을 수행하는 것.

제안 방법

• ℂ*-작용을 지닌 동차 아핀 스프링거 피어의 코homology 군으로서 모듈러스를 실현하는 것.
• 전역 히친 피브레이션에 의해 유도되는 아핀 스프링거 피어의 코homology에 대한 펄스 필터레이션을 사용하여 모듈러스의 그레이딩을 정의하는 것.
• 코스타ント 섹션과 모이-프라사드 필터레이션을 활용하여 루프 대수 내의 정규 중심자와 동차 원소를 분석하는 것.
• 이 피어의 코homology 위에 체레드니크 대수의 전역 층 이론적 작용을 구성하는 것.
• 랑글랜드 dualit와 푸리에 변환을 활용하여 쌍대 군에 대한 기하 모듈러스를 연결하는 것.
• 스펙트럴 시퀀스 추론과 이중성 정리(예: 카일링 형식과 고정된 배치의 자기이중성)를 적용하여 코어널러를 계산하고 코homology를 리 대수 코homology와 연결하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 그레이드되고 유리적인 체레드니크 대수의 모듈러스는 아핀 스프링거 피어를 통해 어떻게 기하적으로 실현될 수 있는가?
• RQ2 이러한 모듈러스의 표준적 그레이딩의 기원은 무엇이며, 코homology의 펄스 필터레이션과 어떻게 관련되는가?
• RQ3 θ가 자명할 경우, 기하적 구성이 기약 유한차원 구면 모듈러스 Lν(triv)을 복원하는가?
• RQ4 Lν(triv)의 차원은 얼마이며, 그의 프로베누스 대수적 구조는 어떻게 기하적으로 실현되는가?
• RQ5 저랭크의 경우(예: 2A2, C2, G2)에서 기하적 구성은 어떻게 행동하는가?

주요 결과

• 자동형사상 θ가 자명할 경우, 기하적 구성은 기약 유한차원 구면 모듈러스 Lν(triv)을 산출한다.
• Lν(triv)의 차원은 탄젠트 사상의 코어널러의 길이로 계산되며, 이는 ker([φ,−])/Lie(Ja)의 몫의 길이와 같다.
• 모듈러스의 표준적 그레이딩은 히친 피브레이션으로부터 끌려온 아핀 스프링거 피어의 코homology에 대한 펄스 필터레이션에서 기인한다.
• Lν(triv)의 프로베누스 대수적 구조는 카일링 형식과 이중성 정리를 통한 코homology의 자기이중성에 의해 기하적으로 실현된다.
• Lν = OX(ν)인 경우, 동차 히친 피어는 동차 아핀 스프링거 피어와 동형이 되며, 국소-전역 대응 관계를 수립한다.
• 2차 차수의 경우(예: 2A2, C2, G2)에서 헤세베르그 다양체는 명시적으로 계산되며, 기약 모듈러스는 이 다양체의 코homology를 통해 기하적으로 실현됨을 보여준다.