[논문 리뷰] Geometric sharp large deviations for random projections of $\ell_p^n$ spheres and balls

Yin-Ting Liao, Kavita Ramanan|arXiv (Cornell University)|2020. 01. 13.

Point processes and geometric inequalities참고 문헌 30인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 높은 차원 점점의 점근적 조건 하에서 스칼라 프로젝션에 대한 $\pi_p^n$ 구와 구의 구속된 날카로운 대칭 확률 추정을 푸리에 분석 및 확률 기법을 사용하여 수립한다. 이는 尾확률의 계수항이 프로젝션 방향에 의존하며, 구와 구의 기하학적 차이를 반영함으로써 로그 점근적 접근보다 더 정확한 근사치를 제공하며, 바하두르-라오 보정을 기하학적 설정으로 일반화한다.

ABSTRACT

Accurate estimation of tail probabilities of projections of high-dimensional probability measures is of relevance in high-dimensional statistics and asymptotic geometric analysis. Whereas large deviation principles identify the asymptotic exponential decay rate of probabilities, sharp large deviation estimates also provide the "prefactor" in front of the exponentially decaying term. For fixed $p \in (1,\infty)$, consider independent sequences $(X^{(n,p)})_{n \in \mathbb{N}}$ and $(Θ^n)_{n \in \mathbb{N}}$ of random vectors with $Θ^n$ distributed according to the normalized cone measure on the unit $\ell_2^n$ sphere, and $X^{(n,p)}$ distributed according to the normalized cone measure on the unit $\ell_p^n$ sphere. For almost every realization $(θ^n)_{n\in\mathbb{N}}$ of $(Θ^n)_{n\in\mathbb{N}}$, (quenched) sharp large deviation estimates are established for suitably normalized (scalar) projections of $X^{(n,p)}$ onto $θ^n$, that are asymptotically exact (as the dimension $n$ tends to infinity). Furthermore, the case when $(X^{(n,p)})_{n \in \mathbb{N}}$ is replaced with $(\mathscr{X}^{(n,p)})_{n \in \mathbb{N}}$, where $\mathscr{X}^{(n,p)}$ is distributed according to the uniform (or normalized volume) measure on the unit $\ell_p^n$ ball, is also considered. In both cases, in contrast to the (quenched) large deviation rate function, the prefactor exhibits a dependence on the projection directions $(θ^n)_{n \in\mathbb{N}}$ that encodes additional geometric information that enables one to distinguish between projections of balls and spheres. Moreover, comparison with numerical estimates obtained by direct computation and importance sampling shows that the obtained analytical expressions for tail probabilities provide good approximations even for moderate values of $n$.

연구 동기 및 목표

• 높은 차원에서 $\pi_p^n$ 구와 구의 프로젝션에 대해 로그 점근적 접근을 넘어서는 날카로운 대칭 확률 추정을 제공하기 위해.
• 꼬리 확률의 계수항이 프로젝션 방향에 어떻게 의존하는지 규명하여, 구와 구 사이의 기하학적 차이를 포착하기 위해.
• 클래식한 바하두르-라오 날카로운 대칭 확률 결과를 $\pi_p^n$ 노름을 포함하는 기하학적 고차원 설정으로 일반화하기 위해.
• 차원 $n \to \infty$ 에서 고정된 프로젝션 방향 조건 하의 꼬리 확률에 대해 점점 정확한 추정을 수립하기 위해.
• 직접 계산 및 중요도 샘플링을 통한 수치 추정과의 비교를 통해 분석 결과를 검증하여, 중간 정도의 $n$ 에서도 정확도를 보여주기 위해.

제안 방법

• 프로젝션 방향 $(\theta^n)$ 의 거의 확실한 실현값에 조건을 두는 구속된 대칭 확률 이론의 사용.
• 프로젝션된 랜덤 벡터의 특성 함수를 분석하기 위해 푸리에 분석 기법의 활용.
• 꼬리 확률의 날카로운 계수항을 유도하기 위해 다차원 일반화된 라플라스 점근적 기법의 적용.
• 구속된 비용 함수의 더 단순한 강凸 표현을 유도하여 기하학적 해석을 가능하게 하기 위해.
• 꼬리 행동의 점근적 분석을 뒷받침하기 위해 기울인 측도 하에서 중심극한정리 수립.
• 중요도 샘플링과 수치 검증을 활용하여 유한한 $n$ 에서 분석적 근사치의 정확도를 확인하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 프로젝션된 $\pi_p^n$ 구와 구에 대한 날카로운 대칭 확률 추정의 계수항은 프로젝션 방향에 따라 어떻게 달라지는가?
• RQ2 프로젝션된 $\pi_p^n$ 구와 구에 대해 구속된 날카로운 대칭 확률 추정을 유도할 수 있으며, 이는 무작위화 또는 로그 점근적 접근과 어떻게 다를 수 있는가?
• RQ3 비용 함수만으로는 포착되지 않는, 꼬리 확률의 계수항에 포함된 기하학적 정보는 무엇인가?
• RQ4 중간 정도의 $n$ 에서 꼬리 확률에 대한 분석적 표현의 정확도는 어느 정도이며, 수치 추정과 비교해 볼 때 어떻게 되는가?
• RQ5 결과들이 클래식한 바하두르-라오 보정을 $\pi_p^n$ 공간의 기하학적 설정으로 얼마나 일반화할 수 있는가?

주요 결과

• 날카로운 대칭 확률 추정의 계수항은 프로젝션 방향 $(\theta^n)$ 에 대해 명시적인 의존성을 보이며, $\pi_p^n$ 구와 구의 프로젝션을 구분한다.
• 구속된 비용 함수는 강凸이며, 더 단순한 표현이 도출되어 기하학적 해석을 용이하게 한다.
• 유도된 분석적 꼬리 확률 추정은 $n \to \infty$ 에서 점점 정확하며, 중간 정도의 $n$ 에서도 수치 추정과 양호한 일치를 보인다.
• 결과는 바하두르와 랑가 라오 정신의 클래식한 날카로운 대칭 확률 추정을 $\pi_p^n$ 노름을 포함하는 기하학적 고차원 설정으로 일반화한다.
• 기울인 측도 하에서 랜덤 프로젝션에 대한 중심극한정리가 수립되어 점근적 분석을 뒷받침한다.
• 증명 기법은 다차원 일반화된 라플라스 점근적 기법과 균일한 편차 추정 등 독립적인 관심을 끌 만한 여러 결과를 도출한다.