[논문 리뷰] Geometric Structures in Field Theory

Manuel de León, Michael A. McLean외 3명|ArXiv.org|2002. 08. 26.

Black Holes and Theoretical Physics참고 문헌 72인용 수 30

한 줄 요약

이 논문은 $k$-symplectic, $k$-tangent, multisymplectic, 및 $n$-symplectic 구조를 비교·대조하여 고전장 이론의 기하적 기초를 통합한다. $L_{\rho}E$의 프레임 bundle 위에서 $m$-symplectic 기하학을 사용하여 일반화된 해밀턴 방정식을 유도하며, 정칙성 조건과 특정 매개변수 선택에 따라 de Donder-Weyl 및 Rund의 해밀턴 방정식을 특수한 경우로 회복한다.

ABSTRACT

This review paper is concerned with the generalizations to field theory of the tangent and cotangent structures and bundles that play fundamental roles in the Lagrangian and Hamiltonian formulations of classical mechanics. The paper reviews, compares and constrasts the various generalizations in order to bring some unity to the field of study. The generalizations seem to fall into two categories. In one direction some have generalized the geometric structures of the bundles, arriving at the various axiomatic systems such as k-symplectic and k-tangent structures. The other direction was to fundamentally extend the bundles themselves and to then explore the natural geometry of the extensions. This latter direction gives us the multisymplectic geometry on jet and cojet bundles and n-symplectic geometry on frame bundles.

연구 동기 및 목표

• 고전장 이론에 대한 다양한 기하적 접근법, 즉 $k$-symplectic, $k$-tangent, multisymplectic, 및 $n$-symplectic 구조를 통합하기 위해.
• 접선/코접선(bundle)의 공리적 일반화와 그 자체의 기본적 확장 간의 모순을 해결하기 위해, 장 이론 형식의 일관성을 분석하기 위해.
• 장 이론의 통합 프레임워크로 기능하는 $L_{\rho}E$ 위의 일관된 $m$-symplectic 형식을 수립하기 위해.
• 특정 조건 하에서 알려진 결과(De Donder-Weyl, Rund)로 축소되는 일반화된 해밀턴 방정식을 도출하기 위해.
• $L_{\rho}E$ 위에서 라그랑지안의 정칙성을 정의하고, 비특이 헤시안 행렬 조건을 통해 캐논ical 운동량이 좌표계에 포함될 수 있도록 보장하기 위해.

제안 방법

• 적합한 프레임 번들의 $L_{\rho}E$ 위에서 벡터값의 솔더링 1-form $\theta_L$과 텐서값의 구조 방정식 $u^*(\eta \mathbin{\righthalfcup} d\theta^i_L) = 0$을 사용한 $m$-symplectic 기하학을 적용한다.
• $J^1\pi$ 위의 카르탕-해밀턴-포앙카레 $n$-형식 $\Theta_L$을 캐논ical $k$-tangent 구조와 텐서 $S_\alpha$를 사용하여 $L_{\rho}E$로 올린다.
• 헤시안 행렬 $\left(E^{*i}_A \circ E^{*j}_B(L)\right)$이 비특이일 경우, $L_{\rho}E$ 위에서 좌표로 캐논ical 운동량 $p^i_A = \partial L / \partial u^A_i$를 도입한다.
• 벡터장 $\eta = \partial / \partial p^i_A$ 및 $\eta = \partial / \partial y^A$를 사용하여 구조 방정식을 평가함으로써 일반화된 해밀턴 방정식을 유도한다. 이는 두 종류의 방정식을 도출한다.
• 매개변수 $\tau(n) = 1/n$으로 설정하고 인덱스를 합산함으로써 de Donder-Weyl 방정식을 회복하며, 더 복잡한 조건 하에서 Rund의 방정식을 유도한다.
• $m$-symplectic 구조를 사용하여 대칭 해밀턴-자코비 대수를 정의하고, $m$-symplectic 프레임워크 내에서 해밀턴-자코비 및 오일러-라그랑주 방정식을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 $k$-symplectic, $k$-tangent, multisymplectic, 및 $n$-symplectic 구조를 장 이론의 단일 기하적 프레임워크 내에서 통합할 수 있는가?
• RQ2 프레임 번들 $L_{\rho}E$와 그 위의 $m$-symplectic 구조는 해밀턴 및 라그랑지안 장 이론을 일반화하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 일반화된 $m$-symplectic 해밀턴 방정식이 어떤 조건에서 de Donder-Weyl 또는 Rund의 캐논ical 방정식으로 축소되는가?
• RQ4 라그랑지안의 정칙성 조건을 통해 캐논ical 운동량을 $L_{\rho}E$ 위의 좌표로 일관되게 도입할 수 있는 조건은 무엇인가?
• RQ5 텐서값의 구조 방정식 $u^*(\eta \mathbin{\righthalfcup} d\theta^i_L) = 0$은 장 방정식을 유도하는 데 어떤 의미를 가지는가?

주요 결과

• $L_{\rho}E$ 위의 $m$-symplectic 형식은 $k$-symplectic, $k$-cosymplectic, 및 multisymplectic 구조를 일반화하는 통합된 기하적 프레임워크를 제공한다.
• 일반화된 캐논ical 방정식 $u^*(\eta \mathbin{\righthalfcup} d\theta^i_L) = 0$은 $\eta = \partial / \partial p^i_A$ 및 $\eta = \partial / \partial y^A$일 때 두 종류의 $m$-symplectic 해밀턴 방정식을 도출한다.
• 식 (140)은 $j=k$로 합산하고 $\tau(n) = 1/n$으로 설정함으로써 de Donder-Weyl 캐논ical 방정식의 절반을 재현한다.
• 식 (141)은 $\bar{u}^i_j$가 상수라고 가정할 경우 $\partial \bar{p}^i_A / \partial x^i = -\partial h / \partial y^A \circ u$로 간소화되며, 이와 식 (140)을 함께 고려하면 전체 de Donder-Weyl 시스템을 얻는다.
• $m$-symplectic 해밀턴-자코비 방정식이 유도되었고, 이는 $m$-symplectic 구조와 라그랑주 변환과 일관됨을 보였다.
• 헤시안 행렬 $\left(E^{*i}_A \circ E^{*j}_B(L)\right)$의 비특이성에 의해 정의된 정칙성 조건은 캐논ical 운동량 $p^i_A$가 $L_{\rho}E$ 위의 좌표로 사용될 수 있음을 보장한다.