[논문 리뷰] Geometric theta-lifting for the dual pair GSp_{2n}, GSO_{2m}

Sergey Lysenko|arXiv (Cornell University)|2008. 02. 04.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 12인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 특성 >2인 매끄럽고 프로젝티브 곡선 위에서 쌍 (GSp_{2n}, GSO_{2m})에 대한 Langlands의 함수적 성질의 기하적 실현을 확립하며, Arthur의 SL₂를 포함하는 L군 사상에 의해 기하적 θ-상승 연산자와 히크 연산자가 호환됨을 보여준다. 핵심 결과는 특정 내부적 국소계에서 Bun_{GSp_4} 위에 자동형 히크 고유층을 구성함으로써 기하 Langlands 대응의 특수한 경우를 실현하는 것이다.

ABSTRACT

Let X be a smooth projective curve over an algebraically closed field of characteristic >2. Consider the dual pair H=GSO_{2m}, G=GSp_{2n} over X, where H splits over an etale two-sheeted covering of X. Write Bun_G and Bun_H for the stacks of G-torsors and H-torsors on X. We show that for m\le n (respectively, for m>n) the theta-lifting functor from D(Bun_H) to D(Bun_G) (respectively, from D(Bun_G) to D(Bun_H)) commutes with Hecke functors with respect to a morphism of the corresponding L-groups involving the SL_2 of Arthur. So, they realize the geometric Langlands functoriality for the corresponding morphisms of L-groups. As an application, we prove a particular case of the geometric Langlands conjectures for GSp_4. Namely, we construct the automorphic Hecke eigensheaves on Bun_{GSp_4} corresponding to the endoscopic local systems on X.

연구 동기 및 목표

• 기하 Langlands 프로그램을 곡선의 에탈 이중 쌍염 덮개에서 분해되는 시미틸루드 군 GSp_{2n} 및 GSO_{2m}로 확장한다.
• Arthur의 SL₂를 포함하는 L군 사상에 의해 기하 θ-상승 연산자가 히크 연산자와 가환함을 입증한다.
• 내부적 국소계에 대해 Bun_{GSp_4} 위에 자동형 히크 고유층을 구성함으로써 기하 Langlands 추측의 특수한 경우를 실현한다.

제안 방법

• G-접속자의 모듈라이 스택 위의 ℓ-adic 층의 유도 범주 D(Bun_H)와 D(Bun_G) 사이에 기하 θ-상승 연산자 F_G: D(Bun_H) → D(Bun_G) 및 F_H: D(Bun_G) → D(Bun_H)를 정의한다.
• 비가역 설정에서 메타플레틱 Weil 표현과 θ-함수 함수수의 프레임워크를 사용하여 상승 연산자를 정의한다.
• 히크 호환성을 지배하는 L군 사상 H^L × G_m → G^L (m ≤ n일 경우) 또는 G^L × G_m → H^L (m > n일 경우)을 구성한다.
• D(Bun_G) 및 D(Bun_H) 위에서 히크 연산자와 그 작용을 이용하고, L군 사상에 의해 호환성을 입증한다.
• 층들의 공간 위에서 군oids의 작용과 히크 대수 위의 그룹화 모듈러의 구조를 활용하여 주요 정리를 증명한다.
• 함수 f^{κ_G}에 의한 불변량에 관한 핵심 보조정리를 적용하여, 특정 부분대수가 전체 히크 대수와 일치함을 보여 고유층 성질을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 쌍 (GSp_{2n}, GSO_{2m})에 대한 기하 θ-상승 연산자가 적절한 L군 사상 하에서 히크 연산자와 가환하는가?
• RQ2 기본 곡선에서 분해되지 않지만 에탈 이중 덮개에서 분해되는 시미틸루드 군에 대해 기하 Langlands의 함수적 성질은 어떻게 실현되는가?
• RQ3 기하 θ-상승을 통해 내부적 국소계에 대해 Bun_{GSp_4} 위에 자동형 히크 고유층을 구성할 수 있는가?
• RQ4 히크 호환성을 지배하는 L군 사상에서 Arthur의 SL₂는 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 히크 대수의 그룹화 구조와 군oids T의 작용은 고유층 성질과 어떻게 관련되는가?

주요 결과

• m ≤ n일 경우, 기하 θ-상승 연산자 F_G: D(Bun_H) → D(Bun_G)는 Arthur의 SL₂를 포함하는 사상 H^L × G_m → G^L에 의해 히크 연산자와 가환한다.
• m > n일 경우, 연산자 F_H: D(Bun_G) → D(Bun_H)는 G^L × G_m → H^L에 의해 히크 연산자와 가환하며, 양방향의 함수적 성질을 확립한다.
• n = m인 경우, L군 사상은 G_m 성분에서 자명해지며, 이로 인해 대응이 단순화된다.
• 이 구성은 특정 내부적 국소계에 대해 Bun_{GSp_4} 위에 자동형 히크 고유층을 제공하며, 기하 Langlands 추측의 특수한 경우를 실현한다.
• 증명은 히크 대수 H_{Q(G)}의 그룹화 부분대수 W가 0차 성분 H_G를 포함하면 H_G와 일치함을 보여주는 핵심 보조정리를 기반으로 한다.
• 히크 작용의 호환성은 군oids가 층 공간 위에서 작용하는 방식과 L군 사상에 의한 Weil 표현의 불변성 간의 상호작용을 통해 확립된다.