[논문 리뷰] On mirabolic D-modules

Michael Finkelberg, Victor Ginzburg|arXiv (Cornell University)|2008. 03. 05.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 19인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 $G$-variety $X$에서 궤도가 유한한 경우, $d$-모듈 $d/\u0064^\,\mathfrak{g}$가 열린 밀도 궤도 위의 $G$--equivariant 국소계수의 직접 이미지와 동형이 되는 조건을 설정한다. 이는 $G = SL_n$ 및 $X = \mathcal{B} \times \mathcal{B} \times \mathbb{P}^{n-1}$의 경우에 적용되며, $G \times \mathbb{P}^{n-1}$ 위의 mirabolic $d$-모듈과 $X$ 위의 $d$-모듈을 연결하는 쌍의 수반 함자 $({\mathsf{CH}}, {\mathsf{HC}})$를 도입하고, $d$-모듈의 아벨 범주에서 $d$-모듈의 Harish-Chandra 함자가 정확하다는 것을 증명한다.

ABSTRACT

Let an algebraic group G act on X, a connected algebraic manifold, with finitely many orbits. For any Harish-Chandra pair (D,G) where D is a sheaf of twisted differential operators on X, we form a left ideal D.g in D generated by the Lie algebra g, of G. Then, D/D.g is a holonomic D-module and its restriction to a unique Zariski open dense G-orbit in X is a G-equivariant local system. We prove a criterion saying that the D-module D/D.g is isomorphic, under certain (quite restrictive) conditions, to a direct image of that local system to X. We apply this criterion in the special case where the group G=SL(n) acts diagonally on X = F imes F imes P^{n-1}, a triple product where F is the flag manifold for SL(n) and P^{n-1} is the projective space. We further relate D-modules on F imes F imes P^{n-1} to D-modules on the space SL(n) imes P^{n-1} via a pair, CH, HC, of adjoint functors, analogous to those used in Lusztig's theory of character sheaves. A second important result of the paper provides an explicit description of these functors showing that the functor HC gives an exact functor on the abelian category of mirabolic D-modules.

연구 동기 및 목표

• G-variety $X$에서 $d$-모듈 $\mathscr{D}/\mathscr{D}^\,\mathfrak{g}$가 열린 밀도 궤도 위의 $G$-equivariant 국소계수의 직접 이미지와 동형이 되는 조건을 설정한다.
• Lusztig의 문자층 함자와 유사한 쌍의 수반 함자 $({\mathsf{CH}}, {\mathsf{HC}})$를 통해 $G \times \mathbb{P}^{n-1}$ 위의 mirabolic $d$-모듈의 범주를 연구한다.
• Harish-Chandra 함자 $d$-모듈의 아벨 범주에서 정확하다는 것을 증명한다. 이는 고전적인 Harish-Chandra 이론의 결과를 확장한다.
• mirabolic Harish-Chandra $d$-모듈 $d^{\theta,c}$의 모노드로미를 Knizhnik-Zamolodchikov 접속과 연결하는 Riemann-Hilbert 대응에 대한 추측을 통해 연결한다.

제안 방법

• G-variety $X$ 위에 궤도가 유한한 경우, $d$-모듈 $\mathscr{D}/\mathscr{D}^\,\mathfrak{g}$를 구성한다. 여기서 $d$는 왜곡된 미분 연산자층이며, $\mathfrak{g} = \operatorname{Lie} G$이다.
• 모멘트 사상 $T^*X \to \mathfrak{g}^*$와 $b$-함수의 근에 대한 경계를 사용하여, $\mathscr{D}/\mathscr{D}^\,\mathfrak{g}$가 열린 궤도 위의 국소계수의 직접 이미지인 $j_*\mathcal{V}^\circ$ 또는 $j_!\mathcal{V}^\circ$와 동형이 되는 조건을 결정한다.
• G \times \mathbb{P}^{n-1}$ 위의 mirabolic $d$-모듈 $\mathcal{G}^{\theta,c} = \mathscr{D}^c / (\mathscr{D}^c \mathfrak{g} + \mathscr{D}^c (\mathfrak{Z}_\theta \otimes 1))$를 정의한다. 여기서 $\mathfrak{Z}_\theta$는 $G$-쌍방향 불변 미분 연산자 대수의 극대 이상이다.
• D-모듈과 $X = \mathcal{B} \times \mathcal{B} \times \mathbb{P}^{n-1}$ 위의 mirabolic $d$-모듈을 연결하는 수반 함자 쌍 $({\mathsf{CH}}, {\mathsf{HC}})$를 도입한다. 이는 Lusztig와 Ginzburg의 구성 방식을 일반화한다.
• Harish-Chandra 함자 $d$-모듈의 아벨 범주에서 정확하다는 것을 증명한다. 이는 고전적인 Harish-Chandra 모듈에 대한 결과를 확장한다.
• de Rham 국소계수 $\mathcal{G}^{\theta,c}|_{\mathfrak{X}^{\operatorname{reg}}}$가 $\mathcal{R}_{\Theta,q}$와 동형이 되는 추측을 제기한다. 이는 Morita 동치와 Riemann-Hilbert 대응을 통해 KZ 접속과 연결된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 G-variety $X$에서 $d$-모듈 $\mathscr{D}/\mathscr{D}^\,\mathfrak{g}$가 열린 밀도 궤도 위의 $G$-equivariant 국소계수의 직접 이미지와 동형이 되는 조건은 무엇인가?
• RQ2 수반 함자 쌍 $({\mathsf{CH}}, {\mathsf{HC}})$는 $G \times \mathbb{P}^{n-1}$ 위의 mirabolic $d$-모듈의 범주와 $\mathcal{B} \times \mathcal{B} \times \mathbb{P}^{n-1}$ 위의 $d$-모듈의 범주를 어떻게 연결하는가?
• RQ3 Harish-Chandra 함자 $d$-모듈의 아벨 범주에서 정확한가? 고전적인 Harish-Chandra 이론과 유사한가?
• RQ4 정규 부분집합 $\mathfrak{X}^{\operatorname{reg}}$ 위에서 mirabolic Harish-Chandra $d$-모듈 $d^{\theta,c}$의 모노드로미는 무엇이며, Knizhnik-Zamolodchikov 접속과 어떻게 관련되는가?
• RQ5 Riemann-Hilbert 대응이 $\mathcal{G}^{\theta,c}|_{\mathfrak{X}^{\operatorname{reg}}}$를 $\mathcal{R}_{\Theta,q}$로 보내는가? $c$가 양호할 경우에 대해 성립하는가?

주요 결과

• G = SL_n 작용이 있는 $X = \mathcal{B} \times \mathcal{B} \times \mathbb{P}^{n-1}$에서 $d$-모듈 $\mathscr{D}/\mathscr{D}^\,\mathfrak{g}$는 모멘트 사상과 $b$-함수의 근에 대한 조건을 만족할 경우 $j_*\mathcal{V}^\circ$ 또는 $j_!\mathcal{V}^\circ$와 동형이다.
• 수반 함자 쌍 $({\mathsf{CH}}, {\mathsf{HC}})$는 $\mathcal{B} \times \mathcal{B} \times \mathbb{P}^{n-1}$ 위의 $d$-모듈의 범주와 $G \times \mathbb{P}^{n-1}$ 위의 mirabolic $d$-모듈의 범주 사이에 유도 동치를 제공한다. 이는 Lusztig의 문자층 프레임워크를 일반화한다.
• Harish-Chandra 함자 $d$-모듈의 아벨 범주에서 정확하다. 이는 고전적인 Harish-Chandra 함자의 성질을 확장한다.
• mirabolic Harish-Chandra $d$-모듈 $d^{\theta,c}$는 $\mathscr{D}^c / (\mathscr{D}^c \mathfrak{g} + \mathscr{D}^c (\mathfrak{Z}_\theta \otimes 1))$로 정의되며, 그 전역 섹션은 구면 Cherednik 대수 $e\mathsf{H}_\kappa e$ 위의 모듈을 이룬다.
• de Rham 국소계수 $\mathcal{G}^{\theta,c}|_{\mathfrak{X}^{\operatorname{reg}}}$가 $\mathcal{R}_{\Theta,q}$와 동형이라는 추측은 KZ 단일화의 알려진 결과를 통해 충분히 일반적인 $c$에 대해 확인된다.
• $\mathbb{H}(\mathcal{G}^{\theta,c})$에 대응하는 $\mathsf{H}_\kappa$-모듈 $\mathcal{P}_{{\theta},c}$는 $\mathsf{H}_\kappa \otimes_{{\mathbb{C}}[\check{\mathbb{T}}]\rtimes W} R_\Theta$와 동형이며, 이는 단일화를 KZ 접속과 연결한다.