[논문 리뷰] Geometrical structures on the prolongation of a pre-Lie algebroid on fibered manifolds and application to Partial Finsler geometry on foliated anchored bundle

Fernand Pelletier|arXiv (Cornell University)|2014. 12. 21.

Advanced Differential Geometry Research참고 문헌 18인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 섬유화된 다중다양체 위의 전-리 대수다발의 연장 위에서 비선형 접속, 페르스러르 접속, 곡률 등의 기하적 구조를 확장하며, 이러한 구조가 임의의 전-리 대수다발 괄호에 관계없이 분할된 잠금된 다발 위의 분할에만 의존함을 보여준다. 핵심 결과는 총공간 위의 페르스러르 접속이 각 분할의 잎에 고전적인 페르스러르 접속과 체른 접속을 유도한다는 것이다.

ABSTRACT

A pre-Lie algebroid is an anchored bundle provided with an almost Lie bracket such that the anchor is compatible with the Lie bracket of vector fields. We firstly show how most geometrical structures intensively studied in the framework of Lie algebroid can easily be extended in the pre-Lie algebroid context. The principal purpose of this paper is to show that how all these results only depend of the foliated structure and do not depend of the pre-Lie algebroid structure that we can put on a foliated anchored bundle. As application, we obtain a Finsler connection on a foliated anchored bundle which induces the classical Finsler connection on each leaf and a similar result for the Chern connection.

연구 동기 및 목표

• 섬유화된 다중다양체 위의 리 대수다발에서 전-리 대수다발으로 기하적 구조를 일반화하는 것.
• 분할된 잠금된 다발 위의 페르스러르 접속과 체른 접속이 전-리 대수다발 괄호에 의존하지 않는 전역 구조에 의해 유도됨을 보이는 것.
• 총공간의 곡률과 분할의 각 잎 위의 곡률 간의 관계를 설정하는 것.
• 부분 페르스러르 대수다발의 맥락에서 플래그 곡률을 정의하고, 잎 위에 유도된 구조를 분석하는 것.

제안 방법

• 섬유화된 다중다양체 위의 잠금된 다발을 연장하여, 유도된 잠금과 거의 리 괄호를 갖는 새로운 벡터다발을 구성하는 것.
• 비선형 접속을 모델링하기 위해 연장 위에 거의 접선 및 거의 코접선 구조를 정의하는 것.
• 심플렉틱 및 메트릭 구조와 호환되는 캐논컬 비선형 접속을 생성하기 위해 반사운동을 사용하는 것.
• 역동적 미분과 캐논컬 반사운동을 통해 라그랑지안 메트릭 접속을 구성하며, 심플렉틱 및 메트릭 형식과의 호환성을 보장하는 것.
• 총공간에 부분 페르스러르 구조를 정의하고, 분할의 각 잎 위에 페르스러르 접속과 체른 접속을 유도하는 것.
• 부분 페르스러르 대수다발의 플래그 곡률을 유도하고, 투영을 통해 잎 위의 곡률과 관련지어 보여주는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비선형 접속과 페르스러르 접속 등의 기하적 구조를 리 대수다발에서 전-리 대수다발으로 어떻게 일반화할 수 있는가?
• RQ2 분할된 잠금된 다발 위에 유도된 페르스러르 접속과 체른 접속이 전-리 대수다발 괄호의 선택에 얼마나 의존하는가?
• RQ3 부분 페르스러르 대수다발의 곡률은 각 잎 위에 유도된 페르스러르 구조의 곡률과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 총공간의 플래그 곡률과 분할의 한 잎 위의 플래그 곡률 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ5 총공간 위의 전역 페르스러르 접속이 각 잎 위에 고전적인 페르스러르 접속과 체른 접속을 유도할 수 있는가?

주요 결과

• 분할된 잠금된 다발의 총공간 위의 페르스러르 접속과 체른 접속은 각 분할의 잎 위에 고전적인 페르스러르 접속과 체른 접속을 유도한다.
• 각 잎 위에 유도된 접속은 전-리 대수다발 괄호의 선택에 관계없이 분할된 구조에만 의존한다.
• 부분 페르스러르 대수다발의 리만 곡률 $ R $ 과 민코프스키 곡률 $ P $ 는 각 잎 $ N $ 위의 대응 곡률 $ R_N $ 과 $ P_N $ 로 투영된다.
• 잎 $ N $ 위의 플래그 곡률 $ K_N(\bar{u}, \bar{\nu}) $ 은 총공간의 플래그 곡률 $ K(u, \nu) $ 와 같으며, 여기서 $ \rho_N(u) = \bar{u} $ 이고 $ \rho_N(\nu) = \bar{\nu} $ 이다.
• 섹션 $ U $ 에 대한 선형 접속 $ \nabla^U $ 의 곡률은 $ \tilde{\rho}(R(\tilde{X}, \tilde{Y})(x, U(x))) = R^U(X,Y)(x) $ 를 만족하며, 총공간과 잎의 곡률을 연결한다.
• 정규 라그랑지안 $ \tilde{\rho} $ 와 관련된 캐논컬 비선형 접속은 심플렉틱 및 메트릭 구조와 호환되며, 유일성을 보장한다.