[논문 리뷰] Geometry of theta divisors --- a survey

Samuel Grushevsky, Klaus Hulek|arXiv (Cornell University)|2012. 04. 12.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 58인용 수 7

한 줄 요약

이 종합 검토는 주로 극성화된 아벨 다양체(ppav)의 쌍곡선(divisor) 기하학을 탐구하며, 아ند레otti-Mayer 계류 및 삼차 3차원의 중간 코호몰로지계류와 같은 쌍곡선의 특이성에 의해 정의된 계류를 중심으로 다룬다. 이 논문은 탈분해 기법과 토로이드적 컴팩티피케이션을 활용하여 초등환 또는 코homology 환에서 사이클 계수를 계산하며, 주요 결과로는 특히 5차 수의 비매트로이드 콘 $\sigma_1$에서의 쌍곡선 함수의 영이 되지 않는 성질을 포함한다.

ABSTRACT

We survey the geometry of the theta divisor and discuss various loci of principally polarized abelian varieties (ppav) defined by imposing conditions on its singularities. The loci defined in this way include the (generalized) Andreotti-Mayer loci, but also other geometrically interesting cycles such as the locus of intermediate Jacobians of cubic threefolds. We shall discuss questions concerning the dimension of these cycles as well as the computation of their class in the Chow or the cohomology ring. In addition we consider the class of their closure in suitable toroidal compactifications and describe degeneration techniques which have proven useful. For this we include a discussion of the construction of the universal family of ppav with a level structure and its possible extensions to toroidal compactifications. The paper contains numerous open questions and conjectures.

연구 동기 및 목표

• ppav의 모듈리 공간 $\mathcal{A}_g$ 에서 쌍곡선의 특이성에 의해 정의된 계류를 체계적으로 연구하기 위해.
• 이러한 계류의 차원과 초등환 또는 코homology 계수를 조사하며, 아ند레otti-Mayer 계류 및 중간 코호몰로지계류를 포함한다.
• 레벨 구조를 갖춘 ppav의 보편 가닥을 토로이드적 컴팩티피케이션, 특히 두 번째 바로노이 컴팩티피케이션으로 확장하기 위해.
• 특히 삼차 3차원의 중간 코호몰로지계류에 대해 탈분해 기법을 적용하여 사이클 계수를 계산하기 위해.
• 쌍곡선 기하학과 그 특이성에 관한 열린 문제 및 추측을 다루기 위해.

제안 방법

• 특히 두 번째 바로노이 분해를 활용한 토로이드적 컴팩티피케이션을 통해 ppav와 그 쌍곡선의 탈분해를 연구하기 위해.
• 레벨 구조를 갖춘 ppav의 보편 가닥을 구성하고, 이를 토로이드적 컴팩티피케이션의 경계 계류로 확장하기 위해.
• 경계 계류에서 쌍곡선 함수의 행동을 분석함으로써 탈분해를 통한 사이클 계수의 계산을 위해.
• 삼차 3차원의 중간 코호몰로지계류에 대해 탈분해를 적용하며, 토릭 좌표계에서의 명시적 좌표 전개를 사용하기 위해.
• 컴퓨터 대수를 통한 직접 검증을 통해, 5차 수에서 비매트로이드 콘 $\sigma_1$에 해당하는 계류에서 쌍곡선 절편 $\overline{f_m}$ 가 항상 영이 되지 않음을 확인하기 위해.
• 쌍대 콘과 토릭 좌표를 사용하여 $t_{ij}$ 를 $s_i$ 와 $T_j$ 로 표현함으로써 쌍곡선 함수의 테일러 급수 전개를 가능하게 하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 주어진 차원 또는 다중성의 특이성을 갖는 쌍곡선을 가진 ppav의 계류의 차원과 초등환 환에서의 계수는 무엇인가?
• RQ2 토로이드적 컴팩티피케이션에서 탈분해 기법을 사용하여 삼차 3차원의 중간 코호몰로지계류의 계수를 어떻게 계산할 수 있는가?
• RQ3 왜 5차 수에서의 비매트로이드 콘 $\sigma_1$ 이 두 번째 바로노이 분해에 포함되지 않으며, 그 계류에서 쌍곡선 절편의 영이 되지 않는 것을 어떻게 검증할 수 있는가?
• RQ4 레벨 구조를 갖춘 ppav의 보편 가닥의 구조는 무엇이며, 토로이드적 컴팩티피케이션에서 경계로 어떻게 확장되는가?
• RQ5 탈분해 방법은 더 낮은 차원의 쌍곡선의 접촉으로 발생하는 준아벨형 쌍곡선의 특이성 문제를 다룰 수 있도록 일반화될 수 있는가?

주요 결과

• 5차 수에서의 콘 $\sigma_1$ 은 매트로이드 계류에도 속하지 않으며, 두 번째 바로노이 분해에도 포함되지 않지만, 차원 5의 기본 콘이다.
• 쌍대 콘 $\sigma_1^\vee$ 는 15개의 원소로 생성되며, 이 중 10개는 $\sigma_1$ 과 수직이고, 5개는 한 생성자와 1의 내적을 가진다.
• 토릭 다양체 $T_{\sigma_1}$ 는 $({\mathbb{C}}^*)^{10} \times {\mathbb{C}}^5$ 와 동형이며, $t_{ij}$ 로부터 유도된 명시적 좌표 $s_i$ 와 $T_j$ 를 갖는다.
• 컴퓨터 계산을 통해 496개의 홀수 2-torsion 점 $m$ 중 어느 것에 대해서도 절편 $\overline{f_m}$ 가 계류 $T_1 = \cdots = T_5 = 0$ 에서 항상 영이 되지 않음을 확인하였다.
• 표준 탈분해 기법이 두 번째 바로노이 분해에 기반하기 때문에, $\sigma_1$ 에 해당하는 계류는 이를 커버하지 못하며, 직접 증명이 필요하다.
• $\sigma_1$ 의 분석은 탈분해 방법의 적용 범위를 확장하는 흔치 않은 사례를 제공하며, 비매트로이드이자 비바로노이 콘에서 직접 쌍곡선 함수를 연구할 수 있음을 보여준다.