[논문 리뷰] Geometry without Topology

Yuri A. Rylov|ArXiv.org|2000. 02. 20.

Advanced Theoretical and Applied Studies in Material Sciences and Geometry참고 문헌 6인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 연속성이나 곡선과 같은 위상적 개념에 의존하지 않고, 유일하게 거리 함수와 유한한 거리 부분공간에 기반한 기하학—특히 리만 기하학—의 공식화를 제안한다. 헤론의 공식을 사용해 삼각형의 넓이가 0이 되는 방식으로 직선을 정의함으로써 곡선과 위상학적 의존성을 제거함으로써, 비퇴화되고 비연속적인 기하학을 가능하게 하며, 이는 비퇴화된 공선성 원뿔을 통해 양자역학적 효과가 자연스럽게 포함되도록 한다.

ABSTRACT

The proper Euclidean geometry is considered to be metric space and described in terms of only metric and finite metric subspaces (sigma-immanent description). Constructing the geometry, one does not use topology and topological properties. For instance, the straight, passing through points A and B, is defined as a set of such points R that the area S(A,B,R) of the triangle ABR vanishes. The triangle area is expressed via metric by means of the Hero's formula, and the straight appears to be defined only via metric, i.e. without a reference to (topological) concept of curve. (Usually the straight is defined as the shortest curve, connecting two points A and B). Such a construction of geometry is free from constraints (continuity, dimensionality of space), generated by a use of topology, but not by geometry in itself. At such a description all information on the geometry properties (such as uniformity, isotropy, continuity and degeneracy) is contained in metric. Modifying the metric, one changes the geometry automatically. The Riemannian geometry is constructed by two different ways: (1) by conventional way on the basis of metric tensor, (2) as a result of modification of the metric in the sigma-immanent description of the proper Euclidean geometry. The two obtained geometries are compared. The convexity problem in geometry and the problem of collinerity of vectors at distant points are considered. The nonmetric definition of curve is shown to be a concept of only proper Euclidean geometry. It is inadequate to any non-Euclidean geometry.

연구 동기 및 목표

• 위상학적 개념과 곡선의 개념에 의존하지 않는 기하학의 공식화를 개발하는 것.
• 기하학적 구조를 유지하면서 유클리드 기하학을 수정함으로써 일반화하는 것.
• 지오데식을 가장 짧은 곡선으로 간주하지 않음으로써, 리만 기하학의 기초적 문제들—예를 들어 볼록성 문제와 경로에 따라 달라지는 평행이동—을 해결하는 것.
• 양자역학적 행동이 비퇴화된 공선성 원뿔과 세계관 두께로부터 자연스럽게 유도되는 기하학을 구성하는 것.
• 양자 상수 ħ가 양자역학을 추가로 가정하지 않고도 시공간의 기하학적 성질로서 유도될 수 있음을 보여주는 것.

제안 방법

• 연속성, 곡선, 위상학에 대한 언급 없이, 점들 사이의 거리 함수 ρ(P,Q)만을 사용하여 기하학을 정의하는 것.
• 삼각형 ABR의 넓이 S(A,B,R)가 0이 되는 점 R의 집합으로서 직선을 정의하며, 이는 헤론의 공식을 사용하여 계산한다.
• 기하학적 대상들을 표현하기 위해 유한한 거리 부분공간(σ-부분공간)과 다중벡터(이산 집합에서 점들의 집합으로의 사상)를 사용하는 것.
• 리만 기하학을 두 가지 경로로 구성하는 것: (1) 표준적인 거리 텐서 접근법, (2) 유클리드 기하학의 σ-내재적 기술을 수정하는 것.
• 입자의 궤도의 물리적 실현으로서 '세계관 두께'를 도입하며, 두께가 양자 효과를 모델링하는 데 사용된다.
• 연속적인 곡선을 이산적인 다중벡터(예: m_n: {0,1,...,n} → Ω)로 대체함으로써 복잡성을 줄이고 위상학적 가정을 제거하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기하학을 곡선이나 연속성의 위상적 개념에 의존하지 않고 구성할 수 있는가?
• RQ2 가장 짧은 경로를 언급하지 않고도 거리 함수만을 사용해 직선의 개념을 정의할 수 있는가?
• RQ3 위상학을 제거하고 기하학을 유한한 거리 부분공간에만 기반시킬 경우, 공선성과 평행성과 같은 기본 기하 성질은 어떻게 변하는가?
• RQ4 양자역학을 추가로 가정하지 않고도 비퇴화되고 비연속적인 기하학에서 양자 현상이 자연스럽게 나타날 수 있는가?
• RQ5 양자 상수 ħ가 세계관 두께의 기하학적 성질로 나타나는 시공간의 기하 모델이 존재하는가?

주요 결과

• 헤론의 공식을 사용해 삼각형 ABR의 넓이가 0이 되도록 함으로써, 곡선의 개념을 필요로 하지 않고도 거리 함수만으로 직선을 정의할 수 있다.
• 볼록성 문제—지역적인 영역을 제거하면 먼 거리의 기하 성질이 변하는 현상—는 곡선 개념에 의존하는 거리 함수의 특성에서 기인하며, σ-내재적 접근법에서는 이를 피할 수 있다.
• 수정된 기하학에서 먼 점들 사이의 공선성 원뿔은 퇴화되지 않으며, 이는 경로에 따라 달라지는 평행이동을 초래한다. 이는 일반 상대성 이론과 일치하지만 절대 평행성과는 일치하지 않는다.
• 공선성 원뿔의 비퇴화성은 자유 입자의 세계관에서 확률적 성격을 띠게 하며, 이는 양자역학의 통계적 행동을 재현할 수 있음을 보여준다.
• 양자 상수 ħ는 세계관 두께와 관련된 기하학적 성질로서 유도되며, 이는 양자역학이 작게는 시공간 기하학의 결과일 수 있음을 시사한다. 즉, 기본 원리가 아니라 기하학적 성질에서 유래된다는 것이다.